Ta sẽ giả thiết các tập hợp được nói đến đều là tập con của một tập cho trước.
Một lớp các tập con của gọi là kín đối với một phép toán nào đó nếu kết quả thực hiện của phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó.
1.1.1. Đại số
Một đại số (hay trường) là một lớp chứa và kín đối với mọi phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn, phép hiệu, phép hiệu đối xứng)
Định lý 1.1.1.1. Một lớp là một đại số chỉ khi và thoả mãn hai điều kiện
1) ,
2) .
Chứng minh. Điều kiện cần suy ra ngay từ định nghĩa. Ta sẽ chứng minh điều kiện đủ.
Với , ta có nên
Khi đó . Bằng quy nạp ta chứng minh được đóng kín đối với phép giao hữu hạn.
Vì nên , do đó .
Vì nên tồn tại , do đó và
Vậy là một đại số.
Định lý 1.1.1.1 cho ta thấy chỉ cần đóng kín đối với phép hợp và phép lấy phần bù thì là một đại số.
Định lý 1.1.1.2. Cho trước một lớp . Khi đó tồn tại một đại số duy nhất bao hàm và chứa trong tất cả các đại số bao hàm .
Từ một lớp , ta nới rộng ra thành sao cho là một đại số và là đại số nhỏ nhất chứa .
được gọi là đại số sinh bởi.
Chứng minh. Bao giờ cũng có một đại số bao hàm là .
Gọi là giao của tất cả các đại số trên bao hàm . Khi đó là một đại số. là đại số nhỏ nhất vì nó chứa trong mọi đại số bao hàm và nó là duy nhất vì nếu có một đại số cũng có tính chất như thì ta sẽ có và . Vì vậy .
1. Độ đo - Tích phân của thầy Thái Thuần Quang
2. Độ đo - Tích phân của thầy Nguyễn Bích Huy
3. Một cuốn sách về độ đo - tích phân cũng khá đầy đủ nhưng Caolac không biết của ai
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luậnể ứ á
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: