Độ đo - Tích phân (Sưu tập)

Chương 1. Độ đo

1.1. Đại số tập hợp

Ta sẽ giả thiết các tập hợp được nói đến đều là tập con của một tập $X$ cho trước.

Một lớp các tập con của $X$ gọi là kín đối với một phép toán nào đó nếu kết quả thực hiện của phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó.

1.1.1. Đại số

Một đại số (hay trường) là một lớp chứa $X,\varnothing$ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn, phép hiệu, phép hiệu đối xứng)

Định lý 1.1.1.1. Một lớp $\mathcal C$ là một đại số chỉ khi $\mathcal C\ne \varnothing$ và thoả mãn hai điều kiện

1) $A,B\in \mathcal C \Rightarrow A\cup B\in \mathcal C$,

2) $A\in \mathcal C \Rightarrow A^c=X\setminus A\in \mathcal C$.

Chứng minh. Điều kiện cần suy ra ngay từ định nghĩa. Ta sẽ chứng minh điều kiện đủ.

Với $A,B\in \mathcal C$, ta có $A^c,B^c\in \mathcal C$ nên $A^c\cup B^c\in \mathcal C$

Khi đó $A\cap B=(A^c\cup B^c)^c\in \mathcal C$. Bằng quy nạp ta chứng minh được $C$ đóng kín đối với phép giao hữu hạn.

Vì $A\setminus B=A\cap B^c$ nên $A\setminus B\in \mathcal C$, do đó $A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\in \mathcal C$.

Vì $\mathcal C\ne \varnothing$ nên tồn tại $A\in \mathcal C$, do đó $\varnothing = A\setminus A \in \mathcal C$ và $X=\varnothing^c \in \mathcal C$

Vậy $\mathcal C$ là một đại số. $\square$

Định lý 1.1.1.1 cho ta thấy $\mathcal C$ chỉ cần đóng kín đối với phép hợp và phép lấy phần bù thì $\mathcal C$ là một đại số.

Định lý 1.1.1.2. Cho trước một lớp $\mathcal M\ne \varnothing$. Khi đó tồn tại một đại số duy nhất $\mathcal C (\mathcal M)$ bao hàm $\mathcal M$ và chứa trong tất cả các đại số bao hàm $\mathcal M$.

Từ một lớp $\mathcal M$, ta nới rộng ra thành $\mathcal C(\mathcal M)$ sao cho $\mathcal C(\mathcal M)$ là một đại số và là đại số nhỏ nhất chứa $\mathcal M$.

$\mathcal C(\mathcal M)$ được gọi là đại số sinh bởi $\mathcal M$.

Chứng minh. Bao giờ cũng có một đại số bao hàm $\mathcal M$ là $\mathcal P(X)$.

Gọi $\mathcal C(\mathcal M)$ là giao của tất cả các đại số trên $X$ bao hàm $\mathcal M$. Khi đó $\mathcal C(\mathcal M)$ là một đại số. $\mathcal C(\mathcal M)$ là đại số nhỏ nhất vì nó chứa trong mọi đại số bao hàm $\mathcal M$ và nó là duy nhất vì nếu có một đại số $\mathcal C'(\mathcal M)$ cũng có tính chất như $\mathcal C(\mathcal M)$ thì ta sẽ có $\mathcal C(\mathcal M)\subset \mathcal C'(\mathcal M)$ và $\mathcal C'(\mathcal M)\subset \mathcal C(\mathcal M)$. Vì vậy $\mathcal C(\mathcal M)= \mathcal C'(\mathcal M)$. $\square$

1. Độ đo - Tích phân của thầy Thái Thuần Quang

2. Độ đo - Tích phân của thầy Nguyễn Bích Huy

3. Một cuốn sách về độ đo - tích phân cũng khá đầy đủ nhưng Caolac không biết của ai

4. Một cuốn tiếng anh