Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

1. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm

Ví dụ 1. Cho đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-20=0$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( 4;2 \right)$.

Giải.

Đường tròn có tâm $I\left( 1;-2 \right)$ và bán kính $R=5$.

Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$. Khi đó véctơ pháp tuyến của $d$ là $\overrightarrow{MI}=\left( -3;-4 \right)$.

Phương trình của tiếp tuyến $d$ tại $M$ là $$-3\left( x-4 \right)-4\left( y-2 \right)=0\Leftrightarrow 3x+4y-20=0.$$

Phương pháp cắt nửa vầng trăng dạng 1 (Dùng cho trắc nghiệm)

Dạng 1. $(C):(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

Đối với Dạng 1 thì phương trình tiếp tuyến tại $M(x_0;y_0)$ có dạng

$$d:(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=R^2$$

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C):(x-1)^2+(y+2)^2=25$ tại $M(4;2)$

Giải.

Áp dụng công thức ở trên ta có phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(4;2)$ là

$$(4-1)(x-1)+(2+2)(y+2)=25\Leftrightarrow 3x+4y-20=0$$

Phương pháp cắt nửa vầng trăng dạng 2 (Dùng cho trắc nghiệm)

Dạng 2. $(C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a^2+b^2-c>0$

Đối với Dạng 2 thì phương trình tiếp tuyến tại $M(x_0;y_0)$ có dạng

$$d:x_0x+y_0y-ax_0-ax-by_0-by+c=0$$

Ví dụ 3. Cho đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-20=0$. Viết phương trình tiếp tuyến tại $M(4;2)$.

Giải.

Áp dụng công thức trên ra có phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(4;2)$ là

$$4x+2y-1.4-x+2.2+2y-20=0\Leftrightarrow 3x+4y-20=0$$

2. Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn

Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+2y+6=0$ đi qua điểm $A\left( 1;3 \right)$.

Giải.

$\left( C \right)$ có tâm $I\left( 3;-1 \right)$ và bán kính  $R=2$. Dễ thấy $AI=2\sqrt{2}>R$ nên $A$ nằm ngoài đường tròn.

Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ đi qua $A$ và có véctơ pháp tuyến là  $\vec{n}=\left( a;b \right)\ne \vec{0}$. Khi đó phương trình $d$ có dạng

$$a\left( x-1 \right)+b\left( y-3 \right)=0$$

Vì $d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ nên khoảng các từ tâm $I$ đến $d$ đúng bằng bán kính $R$

$$\frac{\left| a\left( 3-1 \right)+b\left( -1-3 \right) \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=2\Leftrightarrow 3{{b}^{2}}-4ab=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   b=0  \\   b=\frac{4}{3}a  \\\end{matrix} \right.$$

Nếu $b=0$, vì $a\ne 0$ nên ta chọn $a=1$. Ta được  $\vec{n}=\left( 1;0 \right)$, suy ra phương trình tiếp tuyến $d$

$$d:x-1=0$$

Nếu $b=\frac{4}{3}a$,  chọn $a=3\Rightarrow b=4$. Ta được  $\vec{n}=\left( 3;4 \right)$, suy ra phương trình tiếp tuyến $d$

$$d:3\left( x-1 \right)+4\left( y-3 \right)=0$$

$$d:3x+4y-15=0$$

3. Phương trình tiếp tuyến song song, vuông góc với một đường thẳng

Ví dụ 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=16$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:6x-8y+2021=0$

Giải.

$\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;-3 \right)$ và có $R=4$

Vì tiếp tuyến $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ của $\left( C \right)$ song song với $d$ nên $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ có dạng

$6x-8y+c=0,\left( c\ne 2021 \right)$

$\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ tiếp xúc $\left( C \right)$ nên

\[d\left( I;\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| 6.1-8.\left( -3 \right)+c \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{\left( -8 \right)}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}   &c=10  \\&c=-70  \\\end{aligned} \right.\]

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn YCBT là

     ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}:6x-8y+10=0;{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}:6x-8y-70=0$

Ví dụ 6. Cho phương trình đường tròn $(C):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến vuông góc với $d:3x-4y+2021=0$.

Giải.

$(C)$ có tâm $I(1;-1)$ và bán kính $R=2$.

Vì tiếp tuyến $\Delta $ của $(C)$ vuông góc với $d:3x-4y+2021=0$ nên $\Delta $ có dạng

$\Delta :4x+3y+m=0$.

Vì $\Delta $ tiếp xúc $(C)$ nên

$\displaystyle d\left( I;\Delta  \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| 4.1+3.(-1)+m \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=2\Leftrightarrow \left| m+1 \right|=10$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & m+1=10 \\ & m+1=-10 \\\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & m=9 \\ & m=-11 \\\end{aligned} \right.$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn YCBT

${{\Delta }_{1}}:4x+3y+9=0$ hoặc ${{\Delta }_{2}}:4x+3y-11=0$.