Phương trình tiếp tuyến [Đạo hàm]

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ là một bài toán khá quen thuộc trong chương trình lớp 11 ở chương đạo hàm

Các em buộc phải làm được dạng toán này, vì nó rất hay gặp trong các bài thi, kiểm tra

Các bước để viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x=x_0$ là

Bước 1. Tính $f'(x_0)$

Bước 2. Tính $y_0=f(x_0)$

Bước 3. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $x=x_0$ là

$$\Delta : y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$

---

1. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0$

Ví dụ.Cho hàm số $y=x^3+3x+1(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ bằng $1$

Giải.

Gọi $M(x_0;y_0)$ là tọa độ tiếp điểm

Ta có $x_0=1\Rightarrow y_0=5$ hay $M(1;5)$

Ta có $y'=3x^2+3$. Suy ra $y'(1)=6$

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(1;5)$ là: $\Delta :y=6(x-1)+5=6x-1$

---

2. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có tung độ $y_0$

Ví dụ. Cho hàm số $y=2x^3+3x^2-1(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có tung độ $y_0=4$

Giải

Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là toạ độ tiếp điểm

Ta có $y_0=4\Rightarrow 2x_0^3+3x_0^2-1=4$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x_0=1 \\ x_0=-\frac{5}{2} \\ x_0=-\frac{3}{4} \\\end{matrix} \right.$

Ta có $y'=6x^2+6x$

+) Với $x_0=1\Rightarrow y'(1)=12$

Phương trình tiếp tuyến: $\Delta_1:y=12(x-1)+4=12x-8$

+) Với $\displaystyle x_0=-\frac{5}{2}\Rightarrow y'\left( -\frac{5}{2} \right)=\frac{45}{2}$

Phương trình tiếp tuyến: $\displaystyle \Delta_2:y=\frac{45}{2}\left( x+\frac{5}{2} \right)+4=\frac{45}{2}x+\frac{241}{4}$

+) Với $x_0=-\frac{3}{4}\Rightarrow y'\left( -\frac{3}{4} \right)=-\frac{9}{8}$

Phương trình tiếp tuyến: $\displaystyle \Delta_3:y=-\frac{9}{8}\left( x+\frac{3}{4} \right)+4=-\frac{9}{8}x+\frac{101}{32}$