Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

1. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm

Ví dụ 1. Cho đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-2x+4y-20=0$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại $M(4;2)$.

Giải.

Đường tròn có tâm $I(1;-2)$ và bán kính $R=5$.

Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại $M$. Khi đó véctơ pháp tuyến của $d$ là $\overrightarrow{MI}=(-3;-4)$.

Phương trình của tiếp tuyến $d$ tại $M$ là $$-3(x-4)-4(y-2)=0\iff 3x+4y-20=0.$$

Phương pháp cắt nửa vầng trăng dạng 1 (Dùng cho trắc nghiệm)

Dạng 1. $(C):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

Đối với Dạng 1 thì phương trình tiếp tuyến tại $M(x_0;y_0)$ có dạng

$$d:(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=R^2$$

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=25$ tại $M(4;2)$

Giải.

Áp dụng công thức ở trên ta có phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(4;2)$ là

$$(4-1)(x-1)+(2+2)(y+2)=25\iff 3x+4y-20=0$$

Phương pháp cắt nửa vầng trăng dạng 2 (Dùng cho trắc nghiệm)

Dạng 2. $(C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a^2+b^2-c>0$

Đối với Dạng 2 thì phương trình tiếp tuyến tại $M(x_0;y_0)$ có dạng

$$d:x_{0}x+y_{0}y-a{x}_0-ax-b{y}_0-by+c=0$$

Ví dụ 3. Cho đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-2x+4y-20=0$. Viết phương trình tiếp tuyến tại $M(4;2)$.

Giải.

Áp dụng công thức trên ra có phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(4;2)$ là

$$4x+2y-1.4-x+2.2+2y-20=0\iff 3x+4y-20=0$$

2. Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn

Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-6x+2y+6=0$ đi qua điểm $A(1;3)$.

Giải.

$\left(C\right)$ có tâm $I(3;-1)$ và bán kính  $R=2$. Dễ thấy $AI=2\sqrt{2}>R$ nên $A$ nằm ngoài đường tròn.

Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left(C\right)$ đi qua $A$ và có véctơ pháp tuyến là  $\overrightarrow{n}=(a;b)\ne \overrightarrow{0}$. Khi đó phương trình $d$ có dạng

$$a(x-1)+b(y-3)=0$$

Vì $d$ là tiếp tuyến của $\left(C\right)$ nên khoảng các từ tâm $I$ đến $d$ đúng bằng bán kính $R$

$$\frac{|a(3-1)+b(-1-3)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\iff 3b^2-4ab=0\iff [\begin{array}{c}b=0\\ b=\frac{4}{3}a\end{array}$$

Nếu $b=0$, vì $a\ne 0$ nên ta chọn $a=1$. Ta được  $\overrightarrow{n}=(1;0)$, suy ra phương trình tiếp tuyến $d$

$$d:x-1=0$$

Nếu $b=\frac{4}{3}a$,  chọn $a=3\Rightarrow b=4$. Ta được  $\overrightarrow{n}=(3;4)$, suy ra phương trình tiếp tuyến $d$

$$d:3(x-1)+4(y-3)=0$$

$$d:3x+4y-15=0$$

3. Phương trình tiếp tuyến song song, vuông góc với một đường thẳng

Ví dụ 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left(C\right):{(x-1)}^2+{(y+3)}^2=16$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:6x-8y+2021=0$

Giải.

$\left(C\right)$ có tâm $I(1;-3)$ và có $R=4$

Vì tiếp tuyến $\mathrm{\Delta }$ của $\left(C\right)$ song song với $d$ nên $\mathrm{\Delta }$ có dạng

$6x-8y+c=0,(c\ne 2021)$

$\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc $\left(C\right)$ nên

\[d\left( I;\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| 6.1-8.\left( -3 \right)+c \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{\left( -8 \right)}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \left[ $$\begin{array}{rl}& c=10\\ & c=-70\end{array}$$ \right.\]

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn YCBT là

     ${\mathrm{\Delta }}_1:6x-8y+10=0;{\mathrm{\Delta }}_2:6x-8y-70=0$

Ví dụ 6. Cho phương trình đường tròn $(C):{(x-1)}^2+{(y+1)}^2=4$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến vuông góc với $d:3x-4y+2021=0$.

Giải.

$(C)$ có tâm $I(1;-1)$ và bán kính $R=2$.

Vì tiếp tuyến $\mathrm{\Delta }$ của $(C)$ vuông góc với $d:3x-4y+2021=0$ nên $\mathrm{\Delta }$ có dạng

$\mathrm{\Delta }:4x+3y+m=0$.

Vì $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc $(C)$ nên

${\displaystyle d(I;\mathrm{\Delta })=R\iff \frac{|4.1+3.(-1)+m|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2\iff |m+1|=10}$

$\iff [\begin{array}{rl}& m+1=10\\ & m+1=-10\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m=9\\ & m=-11\end{array}$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn YCBT

${\mathrm{\Delta }}_1:4x+3y+9=0$ hoặc ${\mathrm{\Delta }}_2:4x+3y-11=0$.