FULL CÔNG THỨC TOÁN 12
Bài viết tổng hợp lại các công thức hay sử dụng trong chương trình toán 12 để dễ dàng học tập và tra cứu
GÕ TÊN CÔNG THỨC BẠN MUỐN TÌM KIẾM
CÔNG THỨC SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI
CÔNG THỨC CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
PHƯƠNG PHÁP TÌM MIN MAX BẰNG TABLE
HÀM ĐẶC TRƯNG PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
BÀI TOÁN GỬI TIẾT KIỆM – LÃI SUẤT
BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG – LÃI SUẤT
CÔNG THỨC TỶ SỐ THỂ TÍCH CHÓP (TỈ SỐ THỂ TÍCH CHÓP)
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
CÔNG THỨC LOGARIT CƠ BẢN
$\displaystyle{{\log }_{a}}b=\alpha \Leftrightarrow b={{a}^{\alpha }}$
$\displaystyle{{\log }_{a}}1=0$
$\displaystyle{{\log }_{a}}a=1$
$\displaystyle{{\log }_{a}}{{a}^{b}}=b$
$\displaystyle{{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b$
CÔNG THỨC LOGARIT
$\displaystyle{{\log }_{a}}(bc)={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c$
$\displaystyle{{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c$
$\displaystyle{{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha {{\log }_{a}}b$
$\displaystyle{{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b$
$\displaystyle{{\log }_{a}}\left( \frac{1}{b} \right)=-{{\log }_{a}}b$
$\displaystyle{{\log }_{a}}\left( \sqrt[n]{b} \right)=\frac{1}{n}{{\log }_{a}}b$
$\displaystyle{{\log }_{a}}b{{\log }_{b}}c={{\log }_{a}}c$
$\displaystyle{{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}$
$\displaystyle{{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}$
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
$\displaystyle\int{0dx}=C$
$\displaystyle\int{1dx}=x+C$
$\displaystyle\int{{{x}^{n}}dx}=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C,(n\ne -1)$
$\displaystyle\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C$
$\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}=2\sqrt{x}+C$
$\displaystyle\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx}=-\frac{1}{x}+C$
$\displaystyle\int{{{e}^{x}}dx}={{e}^{x}}+C$
$\displaystyle\int{\sin xdx}=-\cos x+C$
$\displaystyle\int{\cos xdx}=\sin x+C$
$\displaystyle\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\tan x+C$
$\displaystyle\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-\cot x+C$
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
$\displaystyle\int{{{(ax+b)}^{n}}dx}=\frac{1}{a}\cdot \frac{{{(ax+b)}^{n+1}}}{n+1}+C$
$\displaystyle\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C$
$\displaystyle\int{{{e}^{ax+b}}dx}=\frac{1}{a}{{e}^{ax+b}}+C$
$\displaystyle\int{\cos (ax+b)dx}=-\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C$
$\displaystyle\int{\cos (ax+b)dx}=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C$
$\displaystyle\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}(ax+b)}dx}=\frac{1}{a}\tan (ax+b)+C$
$\displaystyle\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}(ax+b)}dx}=-\frac{1}{a}\cot (ax+b)+C$
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
$$\int{udv}=uv-\int{vdu}$$
LÃI ĐƠN – LÃI SUẤT
$${{S}_{n}}=A(1+nr)$$
LÃI KÉP – LÃI SUẤT
$${{S}_{n}}=A{{(1+r)}^{n}}$$
LÃI KÉP LIÊN TỤC – LÃI SUẤT
$${{S}_{n}}=A{{e}^{nr}}$$
BÀI TOÁN TRẢ GÓP – LÃI SUẤT
$${{S}_{n}}=A{{(1+r)}^{n}}-\frac{X}{r}\left[ {{(1+r)}^{n}}-1 \right]$$
Trong đó $X$ là số tiền trả mỗi tháng
BÀI TOÁN GỬI TIẾT KIỆM – LÃI SUẤT
Gửi đầu tháng
$${{S}_{n}}=\frac{X}{r}\left[ {{(1+r)}^{n}}-1 \right](1+r)$$
Trong đó $X$ là số tiền gửi mỗi tháng
Gửi cuối tháng
$${{S}_{n}}=\frac{X}{r}\left[ {{(1+r)}^{n}}-1 \right]$$
Trong đó $X$ là số tiền gửi mỗi tháng
BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG – LÃI SUẤT
$${{S}_{n}}=\frac{At}{r}\left[ {{(1+r)}^{k}}-1 \right]$$
Trong đó $t$ là số tháng trong một bậc lương và $k$ là số bậc lương
SỐ PHỨC
Dạng
$$z=a+bi,(a,b\in \mathbb{R})$$
Số thuần ảo
Khi phần thực $a=0$ thì số phức có dạng $z=bi$ gọi là số thuần ảo
Hai số phức bằng nhau
Cho ${{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i;{{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i$. Khi đó
$${{z}_{1}}={{z}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\ & {{b}_{1}}={{b}_{2}} \\ \end{align} \right.$$
số phức liên hợp
Cho số phức $z=a+bi$ thì số phức liên hợp của $z$ là $\overline{z}=a-bi$
Mô đun của số phức
Cho số phức $z=a+bi$. Khi đó mô đun của số phức $z$ là
$$\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$$
Căn bậc hai số phức
Cho số phức $w=a+bi$, mỗi số phức $z$ thoả mãn ${{z}^{2}}=w$ gọi là một căn bậc hai của số phức $w$
Để tìm số phức $z=x+yi$ ta đi giải hệ phương trình sau
$$\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=a \\ & 2xy=b \\ \end{align} \right.$$
DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
$$z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right),(r>0)$$
CÔNG THỨC MOA VƠ (MOIVRE)
$${{\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)}^{n}}=\cos n\varphi +i\sin n\varphi $$
CÔNG THỨC HÌNH TRỤ
Diện tích xung quanh
$${{S}_{xq}}=2\pi rl$$
Diện tích đáy
$${{S}_{day}}=2\pi {{r}^{2}}$$
Diện tích toàn phần
$${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{day}}=2\pi rl+2\pi {{r}^{2}}$$
Thể tích hình trụ
$${{V}_{tru}}={{S}_{day}}h=\pi {{r}^{2}}h$$
CÔNG THỨC HÌNH CẦU
Diện tích mặt cầu
$$S=4\pi {{R}^{2}}$$
Thể tích khối cầu
$$V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$$
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=(A;B;C)\ne \overrightarrow{0}$ có phương trình tổng quát là
$$(P):A(x-{{x}_{0}})+B(y-{{y}_{0}})+C(z-{{z}_{0}})=0$$
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua 3 điểm $A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c)$ có phương trình là
$$(P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$
Một số mặt phẳng đặc biệt cần nhớ
$(Oxy):z=0$
$(Oyz):x=0$
$(Oxz):y=0$
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ và có bán kính $R$ có phương trình là
$$(S):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$$
Ngoài ra mặt cầu còn có thể viết dưới dạng 2 như sau
$$(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$$ với điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d >0$
Có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}$
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTCP $\vec{n}=(a;b;c)\ne \vec{0}$ có dạng
$$d:\left\{ \begin{align} & x={{x}_{0}}+at \\ & y={{y}_{0}}+bt \\ & z={{z}_{0}}+ct \\ \end{align} \right.$$
Phương trình chính tắc đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTCP $\vec{n}=(a;b;c), abc\ne 0$ có dạng
$$d:\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}$$
KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Cho $M(x;y;z)$ và đường thẳng $d$ có VTCP là $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$. Lấy một một điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ tuỳ ý thuộc đường thẳng $d$. Khi đó công thức tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$ được tính theo công thức sau
$$d\left( M;d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{M{{M}_{0}}};\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}$$
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$ chéo nhau lần lượt có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}}$. Gọi ${{M}_{1}};{{M}_{2}}$ lần lượt là hai điểm thuộc ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$. Khi đó khoảng cách giữa ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$ được tính theo công thức sau
$$d\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}$$
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho $\displaystyle d_1 \begin{cases} x=x_1+a_1t\\ y=y_1+b_1t\\ z=z_1+c_1t\end{cases}$ và $\displaystyle d_2 \begin{cases}x=x_2+a_2t\\ y=y_2+b_2t\\ z=z_2+c_2t \end{cases}$
$d_1$ có VTCP $\vec{u_1}$ và $d_2$ có VTCP $\vec{u_2}$
Khi đó góc giữa $d_1$ và $d_2$ được tính theo công thức
$$\cos(d_1,d_2)=\frac{|\vec{u_1}.\vec{u_2}|}{|\vec{u_1}|.|\vec{u_2}|}$$
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$
$d$ có VTCP $\vec{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}$
Khi đó góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ được xác định bởi
$$\cos(d,P)=\frac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|}$$
3 Comments
đúng cái em đang cần, thanks ad
ReplyDeleteHihi, thanks bạn
Deletebài học ghi quá rõ 10Đ
ReplyDeleteVui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$