Tóm tắt công thức lũy thừa - logarit

Tham khảo bài viết Lũy thừa - Logarit

Bài viết tổng hợp công thức về phần lũy thừa và logarit.

Lưu ý, ở đây chỉ tóm tắt công thức, nếu không nói gì thêm ta ngầm hiểu các điều kiện của các công thức được thỏa mãn.

Công thức lũy thừa

Ghi nhớ

Lũy thừa với số mũ tự nhiên: Cơ số $a\in \mathbb{R}$

Lũy thừa với số mũ nguyên âm hoặc $0$: Cơ số $a\ne 0$

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: Cơ số $a>0$

Lũy thừa với số mũ thực: Cơ số $a>0$

Hay sử dụng

• $a^{-1}=\frac{1}{a}$
• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
• $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Tính chất lũy thừa

• $a^m.a^n=a^{m+n}$
• ${\displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$
• ${\displaystyle {\left(a^m\right)}^n=a^{mn}}$
• ${\displaystyle \{\begin{array}{l}a>1\\ a^{\alpha }>a^{\beta }\end{array}\iff \alpha >\beta }$
• ${\displaystyle \{\begin{array}{l}0<a<1\\ a^{\alpha }>a^{\beta }\end{array}\iff \alpha <\beta }$

Tính chất căn thức

• ${\displaystyle \sqrt[n]{a}=b\iff a=b^n}$
• ${\displaystyle \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}}$
• ${\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}$
• ${\displaystyle {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}}$
• ${\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}$

Công thức Logarit

${\log }_{a}b$ thì điều kiện là $0<a\ne 1,b>0$

Quy ước.

Ký hiệu $\log$ là logarit cơ số 10. Nghĩa là: $\log a={\log }_{10}a$

Ký hiệu $\ln$ là logarit cơ số $e$. Nghĩa là: $\ln a={\log }_{e}a$

Công thức logarit cơ bản

• ${\log }_{a}b=\alpha \iff b=a^{\alpha }$
• ${\log }_{a}1=0$
• ${\log }_{a}a=1$
• ${\log }_a{a}^b=b$
• $a^{{\log }_{a}b}=b$

Công thức Logarit

• ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$
• ${\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$
• ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$
• ${\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b$
• ${\log }_a\left(\frac{1}{b}\right)=-{\log }_{a}b$
• ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$
• ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$
• ${\log }_{a}b{\log }_{b}c={\log }_{a}c$
• ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$

So sánh hai logarit

• $\{\begin{array}{l}a>1\\ {\log }_{a}b>{\log }_{a}c\end{array}\iff b>c$
• $\{\begin{array}{l}0<a<1\\ {\log }_{a}b>{\log }_{a}c\end{array}\iff b<c$

Nhận xét

${\log }_{a}b>0\iff [\begin{array}{l}a,b\in (0;1)\\ a,b\in (1;+\mathrm{\infty })\end{array}$ (hay $a,b$ nằm cùng phía với $1$)

${\log }_{a}b<0\iff [\begin{array}{l}a,\in (0;1);b\in (1;+\mathrm{\infty })\\ b\in (0;1);a\in (1;+\mathrm{\infty })\end{array}$ (hay $a,b$ nằm khác phía với $1$)