Lũy thừa - Logarit

1. Lũy thừa

1.1 Lũy thừa số mũ tự nhiên

Với mỗi số nguyên dương $n$, lũy thừa bậc $n$ của số $a$ là số $a^n$ được xác định bởi $$a^n=a.a\dots a$$ $n$ lần $a$ nhân lại với nhau.

$a$ được gọi là cơ số.

$n$ được gọi là số mũ.

1.2 Lũy thừa với số mũ nguyên âm, 0

Cho $a\ne 0,n=0$ hoặc $n$ là một số nguyên âm, lũy thừa bậc $n$ của $a$ là số $a^n$ xác định bởi $$a^0=1\text{hoặc}{a}^n=\frac{1}{a^{-n}}$$

Chú ý.

$0^0,0^n$ (với $n$ nguyên âm) là không có nghĩa

1.3 Lũy thừa với số mũ hữu tỷ

Người ta định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ thông qua căn bậc $n$ của một số thực $a$.

Cho $a$ là một số thực dương và $r$ là một số hữu tỷ, giả sử $r=\frac{m}{n},(m\in \mathbb{Z},n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Khi đó lũy thừa của $a$ với số mũ $r$ là số $a^r$ được xác định bởi $$a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

1.4 Lũy thừa với số mũ thực

Tự đọc thêm.

1.5 Tóm tắt điều kiện của cơ số của hàm số mũ

1. Mũ tự nhiên (khác $0$): Cơ số bất kỳ ($a\in \mathbb{R}$)
2. Mũ nguyên âm hoặc bằng $0$: Cơ số phải khác $0$ ($a\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}$)
3. Mũ không nguyên: cơ số phải dương ($a>0$)

2. So sánh các lũy thừa

Định lý. Cho $m,n$ là các số nguyên. Khi đó

Với $a>1$ thì $a^m>a^n\iff m>n$

Với $0<a<1$ thì $a^m>a^n\iff m<n$

Hệ quả.

Cho $0<a<b$ và $m$ là số nguyên. Khi đó

$a^m<b^m\iff m>0$

$a^m>b^m\iff m<0$

Hệ quả.

Cho $a<b$ và $n$ lẻ thì $a^n<b^n$

Hệ quả.

Cho $a,b>0$, $n$ là số nguyên khác $0$. Khi đó $$a^n=b^n\iff a=b$$

---

2. Logarit

2.1. Định nghĩa

Cho $a$ là một số thực dương khác $1$, $b$ là một số dương. Một số thực $\alpha$ thỏa mãn $a^{\alpha }=b$ được gọi là logarit cơ số $a$ của $b$ và được ký hiệu là ${\log }_{a}b$, nghĩa là $$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$$

2.2. Công thức cần ghi nhớ

2.2.1. Công thức cơ bản

Lưu ý. Với ${\log }_{a}b$, ta luôn xem $a>0,a\ne 1$ và $b>0$.

• ${\log }_{a}1=0$
• ${\log }_{a}a=1$
• ${\log }_a{a}^b=b,\mathrm{\forall }b\in \mathbb{R}$
• $a^{{\log }_{a}b}=b,\mathrm{\forall }b>0$

2.2.2. So sánh các logarit

Nếu $a>1$ thì ${\log }_{a}b>{\log }_{a}c\iff b>c$

Nếu $0<a<1$ thì ${\log }_{a}b>{\log }_{a}c\iff b<c$

Hệ quả

• $a>1$
• ${\log }_{a}b>0\iff b>1$
• $<0a<1$
• ${\log }_{a}b>0\iff b<1$
• ${\log }_{a}b={\log }_{a}c\iff b=c$

Nhận xét

So sánh giá trị của logarit với $0$

• ${\log }_{a}b>0$ khi $a,b$ nằm cùng phía với $1$
• ${\log }_{a}b<0$ khi $a,b$ nằm khác phía với $1$

So sánh giá trị của logarit với $1$

• Nếu $a>1$ thì ${\log }_{a}b>1\iff b>a$
• Nếu $0<a<1$ thì ${\log }_{a}b>1\iff b<a$

2.2.3. Quy tắc tính logarit

• ${\displaystyle {\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c}$ (logarit của một tích bằng tổng các logarit)
• ${\displaystyle {\log }_a(\frac{b}{c})={\log }_{a}b-{\log }_{a}c}$ (logarit của một thương bằng hiệu các logarit)
• ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$. Hai hệ quả của nó
• ${\displaystyle {\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b}$
• ${\displaystyle {\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b}$
• ${\displaystyle {\log }_{c}b=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}}$ hay ${\log }_{a}b{\log }_{b}c={\log }_{a}c$. Đây gọi là công thức đổi cơ số của logarit, một hệ quả của nó
• ${\displaystyle {\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}}$