Xác suất

Từ "súc sắc" được sử dụng trong sách giáo khoa toán 11 chương trình cơ bản

Biến cố

Không gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra với một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được ký hiệu là $\Omega$

Ghi nhớ

Gieo đồng xu $n$ lần thì không gian mẫu $n(\Omega)=2^n$

Giéo $n$ đồng xu 1 lần thì không gian mẫu $n(\Omega)=2^n$

Gieo con súc sắc $n$ lần thì không gian mẫu $n(\Omega)=6^n$

Gieo $n$ con súc sắc 1 lần thì không gian mẫu $n(\Omega)=6^n$

---

Biến cố

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Tập rỗng ($\varnothing$) được gọi là biến cố không

Tập $\Omega$ được gọi là biến cố chắc chắn

Biến cố đối

Tập $\Omega\backslash A$ được gọi là biến cố đối của $S$, ký hiệu là $\bar{A}$

Hợp - Giao - Xung khắc

Tập $A\cup B$ được gọi là hợp của hai biến cố $A$ và $B$

Tập $A\cap B$ được gọi là giao của hai biến cố $A$ và $B$

Nếu $A\cap B=\varnothing$ thì ta nói $A$ và $B$ xung khắc

---

Xác suất

Định nghĩa

Giả sử $A$ là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện

Ta gọi tỷ số $\displaystyle \frac{n(A)}{n(\Omega)}$ là xác suất của biến cố $A$, ký hiệu $P(A)$.

$$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}$$

---

Ví dụ về tính xác suất

Ví dụ 1. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiên cân đối đông chất 2 lần. Tính xác suất của các biến cố sau

a) $A$:"Mặt sấp xuất hiện hai lần"

b) $B$: "Mặt sấp xuất hiện đúng một lần"

c) $C$: "Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần"

Giải.

a) Không gian mẫu $\Omega=\{SS;SN;NN;NS\}$. Suy ra $n(\Omega)=4$

$A=\{SS\}$ suy ra $n(A)=1$

Suy ra: $\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{1}{4}$

b) Không gian mẫu $\Omega=\{SS;SN;NN;NS\}$. Suy ra $n(\Omega)=4$

$B=\{SN,NS\}$ suy ra $n(B)=2$

Suy ra: $\displaystyle P(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

c) Không gian mẫu $\Omega=\{SS;SN;NN;NS\}$. Suy ra $n(\Omega)=4$

$C=\{SS,SN,NS\}$ suy ra $n(C)=3$

Suy ra: $\displaystyle P(C)=\frac{n(C)}{n(\Omega)}=\frac{3}{4}$

Ví dụ 2. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của các biến cố sau

a) Hai con súc sắc có cùng số chấm

b) Tổng hai chấm trên hai con súc sắc bằng $8$

Giải

Gieo hai con súc sắc nên không gian mẫu: $n(\Omega)=6^2=36$

a) Gọi $A$ : "Hai con súc sắc có cùng số chấm"

$A=\{(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)\}$, suy ra $n(A)=6$

Suy ra: $\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

b) Gọi $B$ : "Tổng hai chấm trên hai con súc sắc bằng $8$"

$B=\{(2;6),(6;2),(3;5),(5;3),(4;4)\}$, suy ra $n(B)=5$

Suy ra: $\displaystyle P(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{5}{36}$

---

Ví dụ về biến cố đối

Ví dụ 3. Gieo một đồng xu cân đối đồng chất ba lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp

Giải

Nhận xét. Thường trong bài toán có cụm từ ít nhất một ... thì ta sử dụng biến cố đối

Gieo đồng xu ba lần nên không gian mẫu $n(\Omega)=2^3=8$

Gọi $A$ : "Ba lần gieo đồng xu có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp"

Khi đó $\bar{A}$ : "Ba lần gieo không xuất hiện mặt sấp nào"

Nghĩa là ba lần gieo đều là mặt ngửa, suy ra $\bar{A}=\{NNN\}$ hay $n(\bar{A})=1$

Suy ra $\displaystyle P(\bar{A})=\frac{1}{8}$

Suy ra $\displaystyle P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$

Vậy xác suất để ba lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa là: $\displaystyle P(A)=\frac{7}{8}$

Ví dụ 4. Một lớp có $20$ học sinh nam và $15$ học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh lên giải bài tập. tính xác suất để $4$ học sinh được chọn có cả nam và nữ

---

Tính chất của xác suất

• $P(\varnothing)=0;P(\Omega)=1$
• $0\le P(A)\le 1$, với mọi biến cố $A$
• Nếu $A$ và $B$ xung khắc thì $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. (Công thức cộng xác suất)

Với mọi biến cố $A$. Ta có $$P(\bar{A})=1-P(A)$$

$A$ và $B$ là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi $$P(AB)=P(A)P(B)$$