Hàm số lũy thừa - Hàm số mũ - Hàm số logarit

Hàm số lũy thừa

Định nghĩa. Hàm số $y=x^{\alpha}$ với $\alpha\in\mathbb{R}$ được gọi là hàm số lũy thừa

Lưu ý.

Tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào số mũ $\alpha$ cụ thể.

Với $\alpha$ nguyên dương thì tập xác định $D=\mathbb{R}$

Với $\alpha$ nguyên âm hoặc bằng $0$ thì tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Với $\alpha$ không nguyên thì tập xác định $D=(0;+\infty)$

Đạo hàm của hàm số lũy thừa

$$\left(x^{\alpha} \right)'=\alpha x^{\alpha-1}$$

Đối với hàm hợp, tức $u$ là hàm của $x$

$$\left(u^{\alpha} \right)'=\alpha u^{\alpha-1}u'$$

Khảo sát hàm số lũy thừa

$$y=x^{\alpha},a>0$$	$$y=x^{\alpha},a<0$$
TXĐ: $D=(0;+\infty)$	TXĐ: $D=(0;+\infty)$
Sự biến thiên $$y'=\alpha x^{\alpha-1}>0,\forall x>0$$ Hàm số luôn đồng biến	Sự biến thiên $$y'=\alpha x^{\alpha-1}<0,\forall x>0$$ Hàm số luôn nghịch biến
Giới hạn đặc biệt $$\lim_{x\to 0^+}x^{\alpha}=0$$ $$\lim_{x\to \infty}x^{\alpha}=+\infty$$	Giới hạn đặc biệt $$\lim_{x\to 0^+}x^{\alpha}=0$$ $$\lim_{x\to \infty}x^{\alpha}=+\infty$$
Tiệm cận: Không có	Tiệm cận $Ox$ là tiệm cận ngang $Oy$ là tiệm cận đứng

Đồ thị

---

Hàm số mũ

Hàm số mũ có dạng $y=a^x$, $(a>0,a\ne 1)$

+) TXĐ: $D=\mathbb{R}$

+) TGT: $(0;+\infty)$

Tính đơn điệu

• $a>1$ thì hàm số đồng biến trên tập xác định
• $a<0<1$ thì hàm số nghịch biến trên tập xác định

Đạo hàm

• $y=a^x\Rightarrow y'=a^x\ln a$
• $y=a^u\Rightarrow y'=u'a^u\ln a$ (trong đó $u$ là hàm của $x$)
• $y=e^x\Rightarrow y'=e^x$
• $y=e^u\Rightarrow y'=u'e^u$ (trong đó $u$ là hàm của $x$)

Đồ thị

---

Hàm số logarit

Hàm số logarit có dạng $y=\log_a x, (a>0,a\ne 1)$

+) TXĐ: $D=(0;\infty)$

+) TGT: $\mathbb{R}$

Tính đơn điệu

• $a>1$ thì hàm số đồng biến trên khoảng xác định
• $0<a<1$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng xác định

Đạo hàm

• $y=\log_a x\Rightarrow y'=\frac{1}{x\ln a}$
• $y=\ln x\Rightarrow y'=\frac{1}{x}$
• $y=\log_a u\Rightarrow y'=\frac{u'}{u\ln a}$, với $u$ là hàm của $x$
• $y=\ln u\Rightarrow y'=\frac{u'}{u}$, với $u$ là hàm của $x$