Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa - Hàm số mũ - Hàm số logarit

August 18, 2021

Định nghĩa. Hàm số $y = x^{α}$ với $α \in R$ được gọi là hàm số lũy thừa

Lưu ý.

Tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào số mũ $α$ cụ thể.

Với $α$ nguyên dương thì tập xác định $D = R$

Với $α$ nguyên âm hoặc bằng $0$ thì tập xác định $D = R ∖ {0}$

Với $α$ không nguyên thì tập xác định $D = (0; + \infty)$

${(x^{α})}^{'} = α x^{α - 1}$

Đối với hàm hợp, tức $u$ là hàm của $x$

${(u^{α})}^{'} = α u^{α - 1} u^{'}$

$y = x^{α}, a > 0$	$y = x^{α}, a < 0$
TXĐ: $D = (0; + \infty)$	TXĐ: $D = (0; + \infty)$
Sự biến thiên $y^{'} = α x^{α - 1} > 0, \forall x > 0$ Hàm số luôn đồng biến	Sự biến thiên $y^{'} = α x^{α - 1} < 0, \forall x > 0$ Hàm số luôn nghịch biến
Giới hạn đặc biệt $lim_{x \to 0^{+}} x^{α} = 0$ $lim_{x \to \infty} x^{α} = + \infty$	Giới hạn đặc biệt $lim_{x \to 0^{+}} x^{α} = 0$ $lim_{x \to \infty} x^{α} = + \infty$
Tiệm cận: Không có	Tiệm cận $O x$ là tiệm cận ngang $O y$ là tiệm cận đứng

Đồ thị

Hàm số mũ

Hàm số mũ có dạng $y = a^{x}$ , $(a > 0, a \neq 1)$

+) TXĐ: $D = R$

+) TGT: $(0; + \infty)$

$y = a^{x} \Rightarrow y^{'} = a^{x} \ln a$
$y = a^{u} \Rightarrow y^{'} = u^{'} a^{u} \ln a$ (trong đó $u$ là hàm của $x$ )
$y = e^{x} \Rightarrow y^{'} = e^{x}$
$y = e^{u} \Rightarrow y^{'} = u^{'} e^{u}$ (trong đó $u$ là hàm của $x$ )

Hàm số logarit có dạng $y = \log_{a} x, (a > 0, a \neq 1)$

+) TXĐ: $D = (0; \infty)$

+) TGT: $R$

$y = \log_{a} x \Rightarrow y^{'} = \frac{1}{x \ln a}$
$y = \ln x \Rightarrow y^{'} = \frac{1}{x}$
$y = \log_{a} u \Rightarrow y^{'} = \frac{u^{'}}{u \ln a}$ , với $u$ là hàm của $x$
$y = \ln u \Rightarrow y^{'} = \frac{u^{'}}{u}$ , với $u$ là hàm của $x$