CÔNG THỨC TÍNH NHANH CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG

805191222

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG

Dạng. $$y=ax^4+bx^2+c,(a\ne 0)$$

Một số công thức tính nhanh cho bài toán về cực trị của hàm trùng phương, với tính chất kỳ thi trắc nghiệm thì buộc ta phải thuộc để tăng tốc độ làm bài

Đối với Dáng đồ thị của hàm trùng phương buộc các em phải thuộc để làm bài hiệu quả

1. Có ba cực trị

Đồ thị hàm số có ba cực trị $\Leftrightarrow ab < 0$

Ví dụ. Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị

Giải

YCBT$\Leftrightarrow ab<0\Leftrightarrow 1.\left( -2{{m}^{2}} \right)<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}>0$

${{m}^{2}}>0$ khi và chỉ khi $m\ne 0$

Vậy $m\ne 0$ thì đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1$ có 3 cực trị

2. Có một cực trị

Đồ thị hàm số có một cực trị $\Leftrightarrow ab\ge 0$

3. Ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân

Ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân $\Leftrightarrow 8a+b^3=0$

Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho đồ thị của hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+1$ có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

Giải

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 8a+{{b}^{3}}=0$

$\Leftrightarrow 8.1+{{\left( 2m \right)}^{3}}=0\Leftrightarrow m=-1$

Vậy $m=-1$ thì đồ thị của hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+1$ có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

805191222

Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông

Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x$

$y'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=m \\ & x=-m \\ \end{align} \right.$

Hay ba điểm cực trị là $A\left( 0;0 \right),B\left( -m;-{{m}^{4}} \right),C\left( m;-{{m}^{4}} \right)$

Để ba điểm cực trị $A,B,C$ tạo thành tam giác vuông $ABC$ (vuông cân tại $A$) thì

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

Lại có $\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AB}=\left( -m;-{{m}^{4}} \right) \\ & \overrightarrow{AC}=\left( m;-{{m}^{4}} \right) \\ \end{align} \right.$

Suy ra $-{{m}^{2}}+{{m}^{8}}=0$

$\Leftrightarrow m=\pm 1$

Vậy $m=\pm 1$

Áp dụng công thức tính nhanh: $8+(-2m^2)^3\Leftrightarrow m=\pm 1$

---

4. Ba cực trị tào thành tam giác đều

Ba cực trị tạo thành tam giác đều $\Leftrightarrow 24a+b^3=0$

Ví dụ. Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-m-1$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều

Giải

YCBT$\Leftrightarrow 24a+{{b}^{3}}=0\Leftrightarrow 24.1+{{\left( 2m \right)}^{3}}=0\Leftrightarrow 24+8{{m}^{3}}=0\Leftrightarrow {{m}^{3}}=-3$

$\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}$

Vậy $m=-\sqrt[3]{3}$ thì đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-m-1$ có 3 cực trị tạo thành tam giác đều

5. Ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích $S_0$

Ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích $S_0 \Leftrightarrow S_0^2=-\dfrac{b^5}{32a^3}$

Ví dụ. Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-m-1$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích là $4\sqrt{2}$

Giải

YCBT$\Leftrightarrow S_{0}^{2}=-\frac{{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}\Leftrightarrow {{\left( 4\sqrt{2} \right)}^{2}}=-\frac{{{\left( 2m \right)}^{5}}}{{{32.1}^{3}}}$

$\Leftrightarrow -{{m}^{5}}=32\Leftrightarrow m=-2$

Vậy $m=-2$ thì đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-m-1$ có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích là $4\sqrt{2}$

6. Ba cực trị tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh là $\alpha$

Ba cực trị tạo thành tam giác $ABC$ cân tại $A$ và có góc tại $A$ bằng $\displaystyle\alpha$ $\Leftrightarrow \cos\alpha =\frac{b^3+8a}{b^3-8a}$

Nhận xét, dễ thấy công thức số 3 và 4 là trường hợp riêng của công thức 6 với trường hợp $\alpha=90^{\circ}$ và $\alpha=60^{\circ}$

Ví dụ. Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-m-1$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có một góc là ${{120}^{\circ }}$

Giải

Giả sử 3 cực trị tạo thành tam giác $ABC$ cân tại $A$. Khi đó giả thiết bài toán suy ra $\widehat{A}={{120}^{\circ }}$

YCBT\[\Leftrightarrow \cos A=\frac{{{b}^{3}}+8a}{{{b}^{3}}-8a}\Leftrightarrow \cos {{120}^{\circ }}=\frac{{{\left( 2m \right)}^{3}}+8.1}{{{\left( 2m \right)}^{3}}-8.1}\]

$\Leftrightarrow -\frac{1}{2}=\frac{8{{m}^{3}}+8}{8{{m}^{3}}-8}\Leftrightarrow -\left( 8{{m}^{3}}-8 \right)=2\left( 8{{m}^{3}}+8 \right)$

$\Leftrightarrow -8{{m}^{3}}+8=16{{m}^{3}}+16\Leftrightarrow 24{{m}^{3}}=-8$

$\Leftrightarrow {{m}^{3}}=-\frac{1}{3}\Leftrightarrow m=-\sqrt[3]{\frac{1}{3}}=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Vậy $m=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ thì đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-m-1$ có 3 cực trị tạo thành tam giác có một góc là ${{120}^{\circ }}$

7. Ba cực trị tạo thành tam giác nhọn

Ba cực trị tạo thành tam giác nhọn $\Leftrightarrow b(8a+b^3)>0$

8. Ba cực trị tạo thành tam giác nhận $O$ làm trọng tâm

Ba cực trị tạo thành tam giác nhận $O$ làm trọng tâm $\Leftrightarrow b^2-6ac=0$

9. Ba cực trị tạo thành tam giác nhận $O$ làm trực tâm

Ba cực trị tạo thành tam giác nhận $O$ làm trực tâm $\Leftrightarrow b^3+8a-4ac=0$

Ví dụ khác

Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=(m-1)x^4-2(m-3)x^2+1$ không có cực đại

Giải

Ta có $y'=4(m-1)x^3-4(m-3)x=4x[(m-1)x^2-(m-3)]$

TH1: $m-1=0\Leftrightarrow m=1$

$\Rightarrow y=4x^2+1$, hàm số này không có cực đại ($m=1$ thoả mãn)

TH2: $m\ne 1$

Dựa vào dáng đồ thị hàm trùng phương, dễ thấy hàm trùng phương không có cực đại tương đương

$\begin{cases}a>0\\ (m-1)x^2-(m-3)=0 \text{ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép } x=0\end{cases}$

$\displaystyle \Rightarrow \begin{cases}m-1>0\\ x^2=\dfrac{m-3}{m-1} \text{ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép } x=0\end{cases}$

$\displaystyle \Rightarrow \begin{cases}m>1\\ \dfrac{m-3}{m-1}\le 0 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}m>1\\ m-3\le 0 \end{cases}$

$\Rightarrow 1<m \le 3$

Kết hợp cả hai trường hợp ta được: $1 \le m \le 3$