CÔNG THỨC TÍNH NHANH CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG

Dạng. y=ax4+bx2+c,(a0)

Một số công thức tính nhanh cho bài toán về cực trị của hàm trùng phương, với tính chất kỳ thi trắc nghiệm thì buộc ta phải thuộc để tăng tốc độ làm bài

Đối với Dáng đồ thị của hàm trùng phương buộc các em phải thuộc để làm bài hiệu quả

1. Có ba cực trị

Đồ thị hàm số có ba cực trị ab<0

Ví dụ. Cho hàm số y=x42m2x2+1. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị

Giải

YCBTab<01.(2m2)<0m2>0

m2>0 khi và chỉ khi m0

Vậy m0 thì đồ thị hàm số y=x42m2x2+1 có 3 cực trị

2. Có một cực trị

Đồ thị hàm số có một cực trị ab0

3. Ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân

Ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân 8a+b3=0

Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y=x4+2mx2+1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

Giải

Yêu cầu bài toán 8a+b3=0

8.1+(2m)3=0m=1

Vậy m=1 thì đồ thị của hàm số y=x4+2mx2+1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

805191222

Cho hàm số y=x42m2x2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông

Ta có y=4x34m2x

y=04x34m2x=0

[x=0x=mx=m

Hay ba điểm cực trị là A(0;0),B(m;m4),C(m;m4)

Để ba điểm cực trị A,B,C tạo thành tam giác vuông ABC (vuông cân tại A) thì

AB.AC=0

Lại có {AB=(m;m4)AC=(m;m4)

Suy ra m2+m8=0

m=±1

Vậy m=±1

Áp dụng công thức tính nhanh: 8+(2m2)3m=±1


4. Ba cực trị tào thành tam giác đều

Ba cực trị tạo thành tam giác đều 24a+b3=0

Ví dụ. Cho hàm số y=x4+2mx2m1. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều

Giải

YCBT24a+b3=024.1+(2m)3=024+8m3=0m3=3

m=33=33

Vậy m=33 thì đồ thị hàm số y=x4+2mx2m1 có 3 cực trị tạo thành tam giác đều

5. Ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích S0

Ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích S0S02=b532a3

Ví dụ. Cho hàm số y=x4+2mx2m1. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích là 42

Giải

YCBTS02=b532a3(42)2=(2m)532.13

m5=32m=2

Vậy m=2 thì đồ thị hàm số y=x4+2mx2m1 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích là 42

6. Ba cực trị tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh là α

Ba cực trị tạo thành tam giác ABC cân tại A và có góc tại A bằng α cosα=b3+8ab38a

Nhận xét, dễ thấy công thức số 34 là trường hợp riêng của công thức 6 với trường hợp α=90α=60

Ví dụ. Cho hàm số y=x4+2mx2m1. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có một góc là 120

Giải

Giả sử 3 cực trị tạo thành tam giác ABC cân tại A. Khi đó giả thiết bài toán suy ra A^=120

YCBT\[\Leftrightarrow \cos A=\frac{{{b}^{3}}+8a}{{{b}^{3}}-8a}\Leftrightarrow \cos {{120}^{\circ }}=\frac{{{\left( 2m \right)}^{3}}+8.1}{{{\left( 2m \right)}^{3}}-8.1}\]

12=8m3+88m38(8m38)=2(8m3+8)

8m3+8=16m3+1624m3=8

m3=13m=133=133

Vậy m=133 thì đồ thị hàm số y=x4+2mx2m1 có 3 cực trị tạo thành tam giác có một góc là 120

7. Ba cực trị tạo thành tam giác nhọn

Ba cực trị tạo thành tam giác nhọn b(8a+b3)>0

8. Ba cực trị tạo thành tam giác nhận O làm trọng tâm

Ba cực trị tạo thành tam giác nhận O làm trọng tâm b26ac=0

9. Ba cực trị tạo thành tam giác nhận O làm trực tâm

Ba cực trị tạo thành tam giác nhận O làm trực tâm b3+8a4ac=0

Ví dụ khác

Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=(m1)x42(m3)x2+1 không có cực đại

Giải

Ta có y=4(m1)x34(m3)x=4x[(m1)x2(m3)]

TH1: m1=0m=1

y=4x2+1, hàm số này không có cực đại (m=1 thoả mãn)

TH2: m1

Dựa vào dáng đồ thị hàm trùng phương, dễ thấy hàm trùng phương không có cực đại tương đương

{a>0(m1)x2(m3)=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x=0

{m1>0x2=m3m1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x=0

{m>1m3m10

{m>1m30

1<m3

Kết hợp cả hai trường hợp ta được: 1m3

Post a Comment

0 Comments