Phương pháp che nguyên hàm

Để tìm nguyên hàm của một số lớp hàm hữu tỷ đơn giản, ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức hay đồng nhất hệ số (rút gọn lại và đặt cái tên theo đúng tinh thần của phương pháp là phương pháp che nguyên hàm tích phân hay kỹ thuật che nguyên hàm tích phân)

Ta cùng nhau đi qua một số ví dụ để nắm được cách thức thao tác của cách làm này

Ví dụ 1. Tính $$\int \frac{1}{(x-2)(x-5)}dx$$

Ta thấy ở mẫu có dạng tích của các nhị thức bậc nhất ($ax+b$), cụ thể ở đây là $(x-2)$ và $(x-5)$

Xét biểu thức trong dấu nguyên hàm $\displaystyle \frac{1}{\left( x-2 \right)\left( x-5 \right)}$

+) Ta tạm thời che đi phần $\left( x-2 \right)$, và thay $\color{red}{x=2}$ vào phần còn lại, nghĩa là

$\displaystyle \require{cancel} \frac{1}{\cancel{\left( x-2 \right)}\left( x-5 \right)}\xrightarrow{Thay\text{ }x=2}\frac{1}{\left( \color{red}{2}-5 \right)}=\color{blue}{-\frac{1}{3}}$

+) Ta tạm thời che đi phần $\left( x-5 \right)$, và thay $\color{red}{x=5}$ vào phần còn lại, nghĩa là

$\displaystyle \require{cancel} \frac{1}{\left( x-2 \right)\cancel{\left( x-5 \right)}}\xrightarrow{Thay\text{ }x=5}\frac{1}{\left( \color{red}{5}-2 \right)}=\color{blue}{\frac{1}{3}}$

Khi đó biểu thức $\displaystyle \frac{1}{\left( x-2 \right)\left( x-5 \right)}$ sẽ được phân tích thành

$\displaystyle \frac{1}{\left( x-2 \right)\left( x-5 \right)}=\color{blue}{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{x-2}+\color{blue}{\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{x-5}$

Hay $\displaystyle \int \frac{1}{(x-2)(x-5)}dx=\int \left(-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x-2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x-5}\right)dx$

$\displaystyle =\frac{1}{3}\int \left(\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-2} \right)dx$

$\displaystyle =\frac{1}{3}\left( \ln|x-5|-\ln|x-2|\right)+C$

$\displaystyle =\frac{1}{3}\ln\left| \frac{x-5}{x-2} \right|+C$

Ví dụ 2. Tính $$\int \frac{1}{(x-5)(x+2)(x+4)}dx$$

Xét biểu thức dưới dấu nguyên hàm $\displaystyle \frac{1}{\left( x-5 \right)\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)}$

+) Ta tạm thời che đi phần $\left( x-5 \right)$, và thay $x=5$ vào phần còn lại, nghĩa là

$\displaystyle \frac{1}{\cancel{\left( x-5 \right)}\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)}\xrightarrow{Thay\text{ }x=5}\frac{1}{\left( 5+2 \right)\left( 5+4 \right)}=\frac{1}{63}$

+) Ta tạm thời che đi phần $\left( x+2 \right)$, và thay $x=-2$ vào phần còn lại, nghĩa là

$\displaystyle \frac{1}{\left( x-5 \right)\cancel{\left( x+2 \right)}\left( x+4 \right)}\xrightarrow{Thay\text{ }x=-2}\frac{1}{\left( -2-5 \right)\left( -2+4 \right)}=-\frac{1}{14}$

+) Ta tạm thời che đi phần $\left( x+4 \right)$, và thay $x=-4$ vào phần còn lại, nghĩa là

$\displaystyle \frac{1}{\left( x-5 \right)\left( x+2 \right)\cancel{\left( x+4 \right)}}\xrightarrow{Thay\text{ }x=-4}\frac{1}{\left( -4-5 \right)\left( -4+2 \right)}=\frac{1}{18}$

Khi đó biểu thức $\displaystyle \frac{1}{\left( x-5 \right)\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)}$ sẽ được biểu diễn dưới dạng

$\displaystyle \frac{1}{\left( x-5 \right)\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)}=\frac{1}{63}\cdot \frac{1}{\left( x-5 \right)}-\frac{1}{14}\cdot \frac{1}{\left( x+2 \right)}+\frac{1}{18}\cdot \frac{1}{\left( x+4 \right)}$

Do đó

$\displaystyle \int{\frac{1}{\left( x-5 \right)\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)}dx}=\frac{1}{63}\int{\frac{1}{\left( x-5 \right)}dx}-\frac{1}{14}\int{\frac{1}{\left( x+2 \right)}dx}+\frac{1}{18}\int{\frac{1}{\left( x+4 \right)}dx}$

$\displaystyle =\frac{1}{63}\ln \left| x-5 \right|-\frac{1}{14}\ln \left| x+2 \right|+\frac{1}{18}\ln \left| x+4 \right|+C$

Phụ lục

Thảm khảo thêm bài viết sâu hơn về tích phân bất định của hàm hữu tỷ

Một số bài tập rèn luyện

Bài tập 1. Tính $$\int \frac{2}{(2x-1)(1-x)}dx$$

Bài tập 2. Tính $$\int \frac{1}{(2x+1)(x-2)(3-x)}dx$$

Bài tập 3. Tính $$\int \frac{2x-1}{(x-4)(2x+6)}dx$$

Bài tập 4. Tính $$\int \frac{1-x}{(x-3)(2x-1)(x+2)}dx$$