BÀI TẬP LOGARIT HÀM ĐẶC TRƯNG (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT)

BÀI TẬP LOGARIT HÀM ĐẶC TRƯNG (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT)

+) Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$, có đạo hàm cấp $k$ trên $\left( a;b \right)$, đồng thời đạo hàm cấp $k$ trên $\left( a;b \right)$ vô nghiệm thì phương trình $f\left( x \right)=0$ có nhiều nhất là $k$ nghiệm trên $\left( a;b \right)$

+) Hàm số $f\left( x \right)$ đơn điệu trên $D$, khi đó với mọi $u,v\in D$, ta có $f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$

Các em phải ghi nhớ hai tính chất trên để có thể vận dụng linh hoạt vào một số bài toán

---

ỨNG DỤNG

Ta sẽ ứng dụng hai tính chất trên vào giải một số phương trình logarit

906131222

Ví dụ 1. Giải phương trình $\ln \left( \dfrac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1} \right)={{x}^{2}}-x$

Bài này không cần điều kiện vì $\dfrac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1}>0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$

$\ln \left( \dfrac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1} \right)={{x}^{2}}-x\Leftrightarrow \ln \left( 2{{x}^{2}}+1 \right)-\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)={{x}^{2}}-x$

$\Leftrightarrow \ln \left( 2{{x}^{2}}+1 \right)-\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$

$\Leftrightarrow \ln \left( 2{{x}^{2}}+1 \right)-\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)=\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( * \right)$

Ta đặt $\left\{ \begin{align} & u=2{{x}^{2}}+1 \\ & v={{x}^{2}}+x+1 \\ \end{align} \right.$. Khi đó ta có

$\left( * \right)\Leftrightarrow \ln u-u=\ln v-v\left( ** \right)$

Xét hàm đặc trưng: $f\left( t \right)=\ln t-t$ với $t\in \left( 1;+\infty \right)$

Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}-1<0,\forall t\in \left( 1;+\infty \right)$

Do đó hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 1;+\infty \right)$

Khi đó $\left( ** \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( v \right)$, và do $f\left( t \right)$ đơn điệu nên $u=v\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+1={{x}^{2}}+x+1$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S=\left\{ 0;1 \right\}$

---

907131222

Ví dụ 2. Giải phương trình ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+x+3}{2{{x}^{2}}+4x+5} \right)={{x}^{2}}+3x+2\left( * \right)$

Những dạng bài toán kiểu không thể xử lý theo cách thông thường như thế này ta sẽ nghĩ tới hàm đặc trưng

Trước tiên ta sẽ tìm mối liên hệ giữa ${{x}^{2}}+x+3$; $2{{x}^{2}}+4x+5$ và ${{x}^{2}}+3x+2$

Dễ thấy $\left( 2{{x}^{2}}+4x+5 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)={{x}^{2}}+3x+2$

Bài này ta cũng không cần điều kiện vì $\dfrac{{{x}^{2}}+x+3}{2{{x}^{2}}+4x+5}>0,\forall x\in \mathbb{R}$

Ta biết đổi phương trình ban đầu

$\left( * \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)-{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+4x+5 \right)=\left( 2{{x}^{2}}+4x+5 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)={{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+4x+5 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+4x+5 \right)$

Ta đặt $\left\{ \begin{align} & u={{x}^{2}}+x+3 \\ & v=2{{x}^{2}}+4x+5 \\ \end{align} \right.$. Khi đó ta có

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}u+u={{\log }_{2}}v+v\left( ** \right)$

Xét hàm đặc trưng: $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$

$f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$

Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$

Khi đó $\left( ** \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3=2{{x}^{2}}+4x+5$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x+2=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ -2;-1 \right\}$

---

934131222

Giải phương trình ${{7}^{x}}-1=6{{\log }_{7}}\left( 6x+1 \right),\left( * \right)$

Điều kiện: $6x+1>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{6}$

$\left( * \right)\Leftrightarrow {{7}^{x}}+6x=\left( 6x+1 \right)+6{{\log }_{7}}\left( 6x+1 \right)$

$\Leftrightarrow {{7}^{x}}+6x={{7}^{{{\log }_{7}}\left( 6x+1 \right)}}+6{{\log }_{7}}\left( 6x+1 \right)$

Đặt $\left\{ \begin{align} & u=x \\ & v={{\log }_{7}}\left( 6x+1 \right) \\ \end{align} \right.$. Khi đó ta có

${{7}^{u}}+6u={{7}^{v}}+6v,\left( ** \right)$

Xét hàm đặc trưng: $f\left( t \right)={{7}^{t}}+6t,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Dễ thấy $f'\left( t \right)={{7}^{t}}\ln 7>0$ nên $f\left( t \right)$ đơn điệu trên $\mathbb{R}$

Khi đó $\left( ** \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( v \right)$

$\Leftrightarrow u=v$

$\Leftrightarrow x={{\log }_{7}}\left( 6x+1 \right)$

$\Leftrightarrow 6x+1={{7}^{x}}$

$\Leftrightarrow {{7}^{x}}-6x-1=0$

Xét hàm $g\left( x \right)={{7}^{x}}-6x-1$

Ta có $g'\left( x \right)={{7}^{x}}\ln 7-6$

$g''\left( x \right)={{7}^{x}}{{\ln }^{2}}7>0$

$g\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai vô nghiệm, do đó $g\left( x \right)$ có tối đa hai nghiệm

Dễ thấy $x=0,x=1$ là hai nghiệm của $g\left( x \right)$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S=\left\{ 0;1 \right\}$

---

1017131222

Giải phương trình ${{7}^{x-1}}-2{{\log }_{7}}{{\left( 6x-5 \right)}^{3}}=1,\left( * \right)$

Điều kiện: $6x-5>0\Leftrightarrow x>\dfrac{5}{6}$

$\left( * \right)\Leftrightarrow {{7}^{x-1}}-6{{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)=1$

$\Leftrightarrow {{7}^{x-1}}+6\left( x-1 \right)=\left( 6x-5 \right)+6{{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)$

$\Leftrightarrow {{7}^{x-1}}+6\left( x-1 \right)={{7}^{{{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)}}+6{{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)$

Đặt $\left\{ \begin{align} & u=x-1 \\ & v={{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right) \\ \end{align} \right.$, khi đó ta có

$\Leftrightarrow {{7}^{u}}+6u={{7}^{v}}+6v,\left( ** \right)$

Xét hàm đặc trưng

$f\left( t \right)={{7}^{t}}+6t,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Ta có $f'\left( t \right)={{7}^{t}}\ln 7+6>0,\left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$, nên $f\left( t \right)$ đơn điệu trên $\mathbb{R}$

Khi đó $\left( ** \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( v \right)$

$\Leftrightarrow u=v$

$\Leftrightarrow x-1={{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)$

$\Leftrightarrow 6x-5={{7}^{x-1}}$

$\Leftrightarrow {{7}^{x-1}}-6x+5=0$

Xét $g\left( x \right)={{7}^{x-1}}-6x+5$

Ta có $g'\left( x \right)={{7}^{x-1}}\ln 7-6$

$g''\left( x \right)={{7}^{x-1}}{{\ln }^{2}}7>0$

$g\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai vô nghiệm, do đó $g\left( x \right)$ có tối đa hai nghiệm

Dễ thấy $x=1;x=2$ là hai nghiệm của $g\left( x \right)$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S=\left\{ 1;2 \right\}$