PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

1. DẠNG CƠ BẢN

Ví dụ 1. Giải phương trình ${{\log }_{2}}\left( 2x-3 \right)=5$

Giải

Điều kiện: $2x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{2}$

${{\log }_{2}}\left( 2x-3 \right)=5\Leftrightarrow 2x-3={{2}^{5}}$

$\Leftrightarrow 2x-3=32 \Leftrightarrow 2x=35 \Leftrightarrow x=\dfrac{35}{2}$ (thoả mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\dfrac{35}{2}$

Bài 1.1: Giải phương trình $\log_3(x-1) = 2$

ĐK: $x > 1$.

PT $\Leftrightarrow x-1 = 3^2 = 9 \Leftrightarrow x = 10$ (TM).

---

Bài 1.2: Giải phương trình $\log_2(x^2 - 3) = 0$

ĐK: $x^2 - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \sqrt{3}$ hoặc $x < -\sqrt{3}$.

PT $\Leftrightarrow x^2 - 3 = 2^0 = 1 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$ (TM).

---

Bài 1.3: Giải phương trình $\ln(2x+1) = 1$

ĐK: $x > -1/2$.

PT $\Leftrightarrow 2x+1 = e^1 \Leftrightarrow 2x = e-1 \Leftrightarrow x = \frac{e-1}{2}$ (TM).

---

Bài 1.4: Giải phương trình $\log_5(3x - 2) = 1$

ĐK: $x > 2/3$.

PT $\Leftrightarrow 3x - 2 = 5^1 \Leftrightarrow 3x = 7 \Leftrightarrow x = 7/3$ (TM).

---

Bài 1.5: Giải phương trình $\log_3(x^2 + 2x) = 1$

ĐK: $x^2+2x > 0 \Leftrightarrow x > 0$ hoặc $x < -2$.

PT $\Leftrightarrow x^2 + 2x = 3^1 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x+3) = 0 \Rightarrow x=1$ (TM), $x=-3$ (TM).

---

2. DẠNG ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

Ví dụ 2. Giải phương trình ${{\log }_{2}}\left( 2x+8 \right)-{{\log }_{2}}\left( x-3 \right)={{\log }_{2}}\left( 4x \right)$

Điều kiện $x>3$. PT $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ \dfrac{2x+8}{x-3} \right]={{\log }_{2}}\left( 4x \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{2x+8}{x-3}=4x \Leftrightarrow 2x+8=4{{x}^{2}}-12x$

$\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-14x-8=0 \Leftrightarrow x=4$ (TM) hoặc $x=-1/2$ (Loại).

Bài 2.1: Giải phương trình $\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = 11$

ĐK: $x > 0$.

$\log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 x + \frac{1}{3}\log_3 x = 11$

$\Leftrightarrow (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3})\log_3 x = 11 \Leftrightarrow \frac{11}{6}\log_3 x = 11$

$\Leftrightarrow \log_3 x = 6 \Leftrightarrow x = 3^6 = 729$.

---

Bài 2.2: Giải phương trình $\log_2(x+1) = \log_2(3x-5)$

ĐK: $3x-5 > 0 \Leftrightarrow x > 5/3$.

PT $\Leftrightarrow x+1 = 3x-5 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x=3$ (TM).

---

Bài 2.3: Giải phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x-2) = \log_{\frac{1}{2}}(2x-3)$

ĐK: $x > 2$.

PT $\Leftrightarrow x-2 = 2x-3 \Leftrightarrow x=1$ (Loại vì $1 < 2$).

Vậy PT vô nghiệm.

---

Bài 2.4: Giải phương trình $\log_2 x + \log_2(x-1) = 1$

ĐK: $x > 1$.

PT $\Leftrightarrow \log_2[x(x-1)] = 1 \Leftrightarrow x^2-x = 2 \Leftrightarrow x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow x=2$ (TM) hoặc $x=-1$ (Loại).

---

Bài 2.5: Giải phương trình $\lg x + \lg(x+9) = 1$

ĐK: $x > 0$.

PT $\Leftrightarrow \lg[x(x+9)] = 1 \Leftrightarrow x^2+9x = 10^1 \Leftrightarrow x^2+9x-10=0$

$\Leftrightarrow x=1$ (TM) hoặc $x=-10$ (Loại).

---

3. DẠNG ĐẶT ẨN PHỤ

Ví dụ 3. Giải phương trình $\log _{2}^{2}x+3{{\log }_{2}}x-4=0$

Điều kiện $x>0$. Đặt $t={{\log }_{2}}x$. PT: ${{t}^{2}}+3t-4=0 \Leftrightarrow t=1, t=-4$.

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=1 \Rightarrow x=2$.

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=-4 \Rightarrow x=1/16$.

Bài 3.1: Giải phương trình $\log_2^2 x - 4\log_2 x + 3 = 0$

ĐK: $x > 0$. Đặt $t = \log_2 x$.

PT: $t^2 - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=3$.

$\Rightarrow \log_2 x = 1 \Leftrightarrow x=2$.

$\Rightarrow \log_2 x = 3 \Leftrightarrow x=8$.

---

Bài 3.2: Giải phương trình $\ln^2 x - 2\ln x - 3 = 0$

ĐK: $x > 0$. Đặt $t = \ln x$.

PT: $t^2 - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow t=-1$ hoặc $t=3$.

$\Rightarrow \ln x = -1 \Leftrightarrow x = e^{-1}$.

$\Rightarrow \ln x = 3 \Leftrightarrow x = e^3$.

---

Bài 3.3: Giải phương trình $\frac{1}{5-\log x} + \frac{2}{1+\log x} = 1$

ĐK: $x > 0, \log x \ne 5, \log x \ne -1$. Đặt $t = \log x$.

$\frac{1}{5-t} + \frac{2}{1+t} = 1 \Leftrightarrow 1+t + 2(5-t) = (5-t)(1+t)$

$\Leftrightarrow 11-t = 5+4t-t^2 \Leftrightarrow t^2-5t+6=0 \Leftrightarrow t=2, t=3$.

$t=2 \Rightarrow x=10^2=100$. $t=3 \Rightarrow x=10^3=1000$.

---

Bài 3.4: Giải phương trình $2\log_5^2 x + \log_5 x - 1 = 0$

ĐK: $x > 0$. Đặt $t = \log_5 x$.

PT: $2t^2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t=-1$ hoặc $t=1/2$.

$\Rightarrow x = 5^{-1} = 1/5$.

$\Rightarrow x = 5^{1/2} = \sqrt{5}$.

---

Bài 3.5: Giải phương trình $\log_3 x + \log_x 9 = 3$

ĐK: $0 < x \ne 1$. Ta có $\log_x 9 = \log_x 3^2 = 2\log_x 3 = \frac{2}{\log_3 x}$.

Đặt $t = \log_3 x$. PT: $t + \frac{2}{t} = 3 \Leftrightarrow t^2 - 3t + 2 = 0$.

$\Leftrightarrow t=1 \Rightarrow x=3$.

$\Leftrightarrow t=2 \Rightarrow x=9$.

---

4. DẠNG MŨ HOÁ / LOGARIT HOÁ

Ví dụ 4. Giải phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+6 \right)=2x+1$

PT $\Leftrightarrow {{2}^{x}}+6={{2}^{2x+1}} \Leftrightarrow 2 \cdot (2^x)^2 - 2^x - 6 = 0$.

Đặt $t=2^x (t>0) \Rightarrow 2t^2-t-6=0 \Leftrightarrow t=2$ (nhận), $t=-1.5$ (loại).

$2^x=2 \Rightarrow x=1$.

Bài 4.1: Giải phương trình $\log_3(3^x - 8) = 2-x$

ĐK: $3^x > 8$. PT $\Leftrightarrow 3^x - 8 = 3^{2-x} = \frac{9}{3^x}$.

Đặt $t = 3^x (t>8)$. $t - 8 = \frac{9}{t} \Leftrightarrow t^2 - 8t - 9 = 0$.

$\Leftrightarrow t=9$ (nhận) hoặc $t=-1$ (loại).

$3^x = 9 \Leftrightarrow x=2$.

---

Bài 4.2: Giải phương trình $x^{\log x} = 100x$

ĐK: $x > 0$. Lấy logarit thập phân 2 vế:

$\log(x^{\log x}) = \log(100x) \Leftrightarrow (\log x)^2 = \log 100 + \log x$.

Đặt $t = \log x$. $t^2 - t - 2 = 0 \Leftrightarrow t=-1, t=2$.

$\log x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0.1$.

$\log x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100$.

---

Bài 4.3: Giải phương trình $\log_2(9 - 2^x) = 3 - x$

ĐK: $2^x < 9$. PT $\Leftrightarrow 9 - 2^x = 2^{3-x} = \frac{8}{2^x}$.

Đặt $t = 2^x (0 < t < 9)$. $9 - t = \frac{8}{t} \Leftrightarrow t^2 - 9t + 8 = 0$.

$\Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=8$.

$2^x = 1 \Rightarrow x=0$. $2^x = 8 \Rightarrow x=3$.

---

Bài 4.4: Giải phương trình $x^{\ln x} = e^2 x$

ĐK: $x > 0$. Lấy ln hai vế:

$\ln(x^{\ln x}) = \ln(e^2 x) \Leftrightarrow (\ln x)^2 = \ln(e^2) + \ln x = 2 + \ln x$.

Đặt $t = \ln x$. $t^2 - t - 2 = 0 \Leftrightarrow t=-1, t=2$.

$x = e^{-1}$ hoặc $x = e^2$.

---

Bài 4.5: Giải phương trình $\log_2(4^x + 4) = x + \log_2(2^{x+1} - 3)$

PT $\Leftrightarrow \log_2(4^x + 4) = \log_2(2^x) + \log_2(2^{x+1} - 3) = \log_2[2^x(2^{x+1} - 3)]$.

$\Leftrightarrow 4^x + 4 = 2^x(2 \cdot 2^x - 3) \Leftrightarrow 4^x + 4 = 2 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^x$.

$\Leftrightarrow 4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$. Đặt $t=2^x (t>0)$.

$t^2 - 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow t=4$ (nhận), $t=-1$ (loại).

$2^x = 4 \Rightarrow x=2$. (Thử lại thỏa mãn ĐK).