PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

CƠ BẢN

Ví dụ 1. Giải phương trình ${{\log }_{2}}\left( 2x-3 \right)=5$

Giải

Điều kiện: $2x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{2}$

${{\log }_{2}}\left( 2x-3 \right)=5\Leftrightarrow 2x-3={{2}^{5}}$

$\Leftrightarrow 2x-3=32$

$\Leftrightarrow 2x=35$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{35}{2}$ (thoả mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\dfrac{35}{2}$

---

ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

Ví dụ 2. Giải phương trình ${{\log }_{2}}\left( 2x+8 \right)-{{\log }_{2}}\left( x-3 \right)={{\log }_{2}}\left( 4x \right)$

Điều kiện $\left\{ \begin{align} & 2x+8>0 \\ & x-3>0 \\ & 4x>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x>3$

${{\log }_{2}}\left( 2x+8 \right)-{{\log }_{2}}\left( x-3 \right)={{\log }_{2}}\left( 4x \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ \dfrac{2x+8}{x-3} \right]={{\log }_{2}}\left( 4x \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{2x+8}{x-3}=4x$

$\Leftrightarrow 2x+8=4x\left( x-3 \right)$

$\Leftrightarrow 2x+8=4{{x}^{2}}-12x$

$\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-14x-8=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=4\left( tm \right) \\ & x=-\frac{1}{2}\left( loai \right) \\ \end{align} \right.$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=4$

---

ĐẶT ẨN PHỤ

Ví dụ 3. Giải phương trình $\log _{2}^{2}x+3{{\log }_{2}}x-4=0$

Điều kiện $x>0$

Đặt $t={{\log }_{2}}x$

Khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}+3t-4=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1 \\ & t=-4 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\log }_{2}}x=1 \\ & {{\log }_{2}}x=-4 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x={{2}^{-4}} \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=\frac{1}{16} \\ \end{align} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2;x=\dfrac{1}{16}$

---

MŨ HOÁ

Ví dụ 4. Giải phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+6 \right)=2x+1$

Bài này không cần điều kiện vì ${{2}^{x}}+6>0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$

${{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+6 \right)=2x+1\Leftrightarrow {{2}^{x}}+6={{2}^{2x+1}}$

$\Leftrightarrow {{2}^{x}}+6={{2.2}^{2x}}$

$\Leftrightarrow {{2.2}^{2x}}-{{2}^{x}}-6=0$

Đặt $t={{2}^{x}},\left( t>0 \right)$, khi đó phương trình trở thành

$\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-3 \\ & t=2 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{2}^{x}}=-3\left( loai \right) \\ & {{2}^{x}}=2 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow x=1$

Vậy phương trình có nghiệm $x=1$