PHƯƠNG TRÌNH MŨ

DẠNG CƠ BẢN

$a^x=m\Leftrightarrow x=\log_a m, (a>0,a\ne 1,b>0)$

Trong trường hợp $b<0$ thì phương trình trên vô nghiệm

Ví dụ. Giải $2^{2x}=4$

Giải

$2^{2x}=4\Leftrightarrow 2x=\log_2 4\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=1$

Ví dụ. Giải ${{5}^{3x-2}}=4$

Giải

${{5}^{3x-2}}=4\Leftrightarrow 3x-2={{\log }_{5}}4$

$\Leftrightarrow 3x=2+{{\log }_{5}}4\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}{{\log }_{5}}4$

ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

$a^{f(x)}=a^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x),(a>0,a\ne 1)$

Ví dụ. Giải $9^{x+1}=27^{2x+1}$

Giải

$9^{x+1}=27^{2x+1}$

$\Leftrightarrow 3^{2(x+1)}=3^{3(2x+1)}$

$\Leftrightarrow 2(x+1)=3(2x+1)$

$\Leftrightarrow 2x+2=6x+3$

$\Leftrightarrow 4x=-1$

$\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{4}$

Ví dụ. Giải $(2+\sqrt{3})^{2x}=2-\sqrt{3}$

Giải

Nhận xét. $2-\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{-1}$ (Sử dụng casio đề check)

$(2+\sqrt{3})^{2x}=2-\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow (2+\sqrt{3})^{2x}=(2+\sqrt{3})^{-1}$

$\Leftrightarrow 2x=-1$

$\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$

ĐẶT ẨN PHỤ

Ví dụ. Giải $9^x-4.3^x-45=0$

Giải

$9^x-4.3^x-45=0\Leftrightarrow 3^{2x}-4.3^x-45=0$

Đặt $t=3^x$ điều kiện $t>0$

Phương trình trở thành

$t^2-4t-45=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=9(tm) \\ & t=-5(loai) \\ \end{align} \right.$

Với $t=9\Leftrightarrow 3^x=9\Leftrightarrow x=2$

Ví dụ. Giải ${{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)}^{x}}+{{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{x}}=4\left( 1 \right)$

Giải

Dễ thấy ${{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)}^{x}}={{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{-x}}$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{-x}}+{{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{x}}=4\left( 2 \right)$

Đặt $t={{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)}^{x}}$

Khi đó

$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{t}^{-1}}+t=4\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=2+\sqrt{3} \\ & t=2-\sqrt{3} \\\end{align} \right.$

Với $t=2+\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{x}}=2+\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{\frac{x}{2}}}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{1}}\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=1\Leftrightarrow x=2$

Vối $t=2-\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{x}}=2-\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{\frac{x}{2}}}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-1}}\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=-1\Leftrightarrow x=-2$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\pm 2$

Ví dụ. Giải phương trình ${{27}^{x}}+{{12}^{x}}={{2.8}^{x}}\left( 1 \right)$

Giải

Chia hai vế cho ${{8}^{x}}$, ta được

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{27}{8} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{12}{8} \right)}^{x}}=2$

$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{3x}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}=2\left( 2 \right)$

Đặt $t={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}>0$

$\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{t}^{3}}+t-2=0$

$\Leftrightarrow t=1$

$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{x}}=1$

$\Leftrightarrow x=0$

LOGARIT HOÁ

Phương pháp logarit hoá thường sử dụng khi hai cơ số hoàn toàn khác nhau và không có liên hệ gì

Ví dụ. Giải ${{2}^{{{3}^{x}}}}={{3}^{{{2}^{x}}}}$

Giải

Lấy logarit cơ số $3$ của hai vế ta được

${{\log }_{3}}{{2}^{{{3}^{x}}}}={{\log }_{3}}{{3}^{{{2}^{x}}}}\Leftrightarrow {{3}^{x}}{{\log }_{3}}2={{2}^{x}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{x}}}{{{3}^{x}}}={{\log }_{3}}2\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{x}}={{\log }_{3}}2\Leftrightarrow x={{\log }_{\frac{2}{3}}}\left( {{\log }_{3}}2 \right)$

Ví dụ. Giải ${{5}^{x}}{{.8}^{\frac{x-1}{x}}}=500$

Giải

Điều kiện $x\ne 0$

Lấy logarit cơ số $5$ hai vế ta được

${{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}{{.8}^{\frac{x-1}{x}}} \right)={{\log }_{5}}500$

$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}} \right)+{{\log }_{5}}\left( {{8}^{\frac{x-1}{x}}} \right)={{\log }_{5}}\left( 125\times 4 \right)$

$\Leftrightarrow x+\frac{x-1}{x}{{\log }_{5}}8=3+{{\log }_{5}}4=3+2{{\log }_{5}}2$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( x-1 \right){{\log }_{5}}8=\left( 3+2{{\log }_{5}}2 \right)x$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( x-1 \right){{\log }_{5}}{{2}^{3}}=\left( 3+2{{\log }_{5}}2 \right)x$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3\left( x-1 \right){{\log }_{5}}2=\left( 3+2{{\log }_{5}}2 \right)x$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( {{\log }_{5}}2-3 \right)x-3{{\log }_{5}}2=0$

Solve thấy nghiệm $x=3$ nên ta đưa về

$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( x+{{\log }_{5}}2 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=3 \\ & x=-{{\log }_{5}}2 \\ \end{align} \right.$

Một số bài tập tự luyện

Cơ bản

Giải phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-1}}=256$

Giải phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-2x+1}}=1$

Giải phương trình ${{\left( {{3}^{x}} \right)}^{x-1}}=64$

Giải phương trình ${{4}^{x+1}}+{{4}^{x-1}}=272$

Giải phương trình ${{7}^{x}}+{{7}^{x+1}}+{{7}^{x+2}}=342$

Giải phương trình ${{5}^{x+1}}-{{5}^{x}}={{2}^{x+1}}+{{2}^{x+3}}$

Giải phương trình ${{\left( 7+4\sqrt{3} \right)}^{2x+1}}=2-\sqrt{3}$

Giải phương trình ${{4}^{{{\cos }^{2}}x}}-1=0$

Giải phương trình ${{3}^{x}}{{.2}^{x+1}}=72$

Đưa về cùng cơ số

Giải phương trình ${{3}^{x-4}}={{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{3x-1}}$

Giải phương trình ${{3}^{x-2}}=\dfrac{3}{{{9}^{x}}}$

Giải phương trình ${{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{2x-1}}={{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{x+2}}$

Giải phương trình ${{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=\dfrac{1}{243}$

Giải phương trình ${{\left( 1,5 \right)}^{5x-7}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{x+1}}$

Giải phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{16}^{x+1}}$

Giải phương trình ${{\left( 3+2\sqrt{2} \right)}^{{{x}^{2}}-x+2}}={{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{{{x}^{2}}-2}}$

Giải phương trình ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{3x+1}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{5x+7}}$

Giải phương trình ${{4}^{x}}+{{4}^{x+1}}={{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}$

Giải phương trình ${{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x-1}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}$

Đặt ẩn phụ

Giải phương trình ${{4}^{2x}}-{{10.4}^{x}}+16=0$

Giải phương trình ${{3}^{2x}}-{{4.3}^{x}}+1=0$

Giải phương trình ${{4}^{{{x}^{2}}-x-1}}+{{2}^{{{x}^{2}}-x}}=3$

Giải phương trình ${{4}^{x}}-{{4}^{1-x}}=3$

Giải phương trình ${{\left( 7+4\sqrt{3} \right)}^{x}}+{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=6$

Giải phương trình ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}+{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}-2\sqrt{2}=0$

Giải phương trình ${{5}^{x-1}}+5.{{\left( 0,2 \right)}^{x-2}}=26$

Giải phương trình ${{9}^{x+1}}-{{13.6}^{x}}+{{4}^{x+1}}=0$

Giải phương trình ${{27}^{x}}+{{12}^{x}}={{2.8}^{x}}$

Giải phương trình ${{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{x}}+{{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{x}}={{3.2}^{x}}$

Giải phương trình ${{3.8}^{x}}+{{4.12}^{x}}-{{18}^{x}}-{{2.27}^{x}}=0$

Giải phương trình ${{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}-3=0$

Giải phương trình ${{25}^{x}}-{{20.5}^{x-1}}+3=0$

Logarit hoá

Giải phương trình ${{3}^{x}}{{.2}^{{{x}^{2}}}}=1$

Giải phương trình ${{2}^{x+3}}={{5}^{{{x}^{2}}+2x-3}}$

PHƯƠNG TRÌNH MŨ