PHƯƠNG TRÌNH MŨ

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

DẠNG CƠ BẢN

$a^x=m\iff x={\log }_{a}m,(a>0,a\ne 1,b>0)$

Trong trường hợp $b<0$ thì phương trình trên vô nghiệm

Ví dụ. Giải $2^{2x}=4$

Giải

$2^{2x}=4\iff 2x={\log }_{2}4\iff 2x=2\iff x=1$

Ví dụ. Giải $5^{3x-2}=4$

Giải

$5^{3x-2}=4\iff 3x-2={\log }_{5}4$

$\iff 3x=2+{\log }_{5}4\iff x={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\log }_{5}4$

---

ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

$a^{f(x)}=a^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x),(a>0,a\ne 1)$

Ví dụ. Giải $9^{x+1}={27}^{2x+1}$

Giải

$9^{x+1}={27}^{2x+1}$

$\iff 3^{2(x+1)}=3^{3(2x+1)}$

$\iff 2(x+1)=3(2x+1)$

$\iff 2x+2=6x+3$

$\iff 4x=-1$

$\iff x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

Ví dụ. Giải $(2+\sqrt{3}{)}^{2x}=2-\sqrt{3}$

Giải

Nhận xét. $2-\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^{-1}$ (Sử dụng casio đề check)

$(2+\sqrt{3}{)}^{2x}=2-\sqrt{3}$

$\iff (2+\sqrt{3}{)}^{2x}=(2+\sqrt{3}{)}^{-1}$

$\iff 2x=-1$

$\iff x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

---

ĐẶT ẨN PHỤ

Ví dụ. Giải $9^x-{4.3}^x-45=0$

Giải

$9^x-{4.3}^x-45=0\iff 3^{2x}-{4.3}^x-45=0$

Đặt $t=3^x$ điều kiện $t>0$

Phương trình trở thành

$t^2-4t-45=0\iff [\begin{array}{rl}& t=9(tm)\\ & t=-5(loai)\end{array}$

Với $t=9\iff 3^x=9\iff x=2$

Ví dụ. Giải ${\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}^x+{\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}^x=4\left(1\right)$

Giải

Dễ thấy ${\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}^x={\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}^{-x}$

$\left(1\right)\iff {\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}^{-x}+{\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}^x=4\left(2\right)$

Đặt $t={\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}^x$

Khi đó

$\left(2\right)\iff t^{-1}+t=4\iff t^2-4t+1=0$

$\iff [\begin{array}{rl}& t=2+\sqrt{3}\\ & t=2-\sqrt{3}\end{array}$

Với $t=2+\sqrt{3}\iff {\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}^x=2+\sqrt{3}$

$\iff {(2+\sqrt{3})}^{\frac{x}{2}}={(2+\sqrt{3})}^1\iff {\displaystyle \frac{x}{2}}=1\iff x=2$

Vối $t=2-\sqrt{3}\iff {\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}^x=2-\sqrt{3}$

$\iff {(2+\sqrt{3})}^{\frac{x}{2}}={(2+\sqrt{3})}^{-1}\iff {\displaystyle \frac{x}{2}}=-1\iff x=-2$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\pm 2$

Ví dụ. Giải phương trình ${27}^x+{12}^x={2.8}^x\left(1\right)$

Giải

Chia hai vế cho $8^x$, ta được

$\left(1\right)\iff {\left({\displaystyle \frac{27}{8}}\right)}^x+{\left({\displaystyle \frac{12}{8}}\right)}^x=2$

$\iff {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{3x}+{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^x=2\left(2\right)$

Đặt $t={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^x>0$

$\left(2\right)\iff t^3+t-2=0$

$\iff t=1$

$\iff {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^x=1$

$\iff x=0$

---

LOGARIT HOÁ

Phương pháp logarit hoá thường sử dụng khi hai cơ số hoàn toàn khác nhau và không có liên hệ gì

Ví dụ. Giải $2^{3^x}=3^{2^x}$

Giải

Lấy logarit cơ số $3$ của hai vế ta được

${\log }_3{2}^{3^x}={\log }_3{3}^{2^x}\iff 3^x{\log }_{3}2=2^x$

$\iff {\displaystyle \frac{2^x}{3^x}}={\log }_{3}2\iff {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^x={\log }_{3}2\iff x={\log }_{\frac{2}{3}}\left({\log }_{3}2\right)$

Ví dụ. Giải $5^x{.8}^{\frac{x-1}{x}}=500$

Giải

Điều kiện $x\ne 0$

Lấy logarit cơ số $5$ hai vế ta được

${\log }_5\left(5^x{.8}^{\frac{x-1}{x}}\right)={\log }_{5}500$

$\iff {\log }_5\left(5^x\right)+{\log }_5\left(8^{\frac{x-1}{x}}\right)={\log }_5(125\times 4)$

$\iff x+\frac{x-1}{x}{\log }_{5}8=3+{\log }_{5}4=3+2{\log }_{5}2$

$\iff x^2+(x-1){\log }_{5}8=(3+2{\log }_{5}2)x$

$\iff x^2+(x-1){\log }_5{2}^3=(3+2{\log }_{5}2)x$

$\iff x^2+3(x-1){\log }_{5}2=(3+2{\log }_{5}2)x$

$\iff x^2+({\log }_{5}2-3)x-3{\log }_{5}2=0$

Solve thấy nghiệm $x=3$ nên ta đưa về

$\iff (x-3)(x+{\log }_{5}2)=0$

$\iff [\begin{array}{rl}& x=3\\ & x=-{\log }_{5}2\end{array}$

---

Một số bài tập tự luyện

Cơ bản

Giải phương trình $2^{x^2-1}=256$

Giải phương trình $2^{x^2-2x+1}=1$

Giải phương trình ${\left(3^x\right)}^{x-1}=64$

Giải phương trình $4^{x+1}+4^{x-1}=272$

Giải phương trình $7^x+7^{x+1}+7^{x+2}=342$

Giải phương trình $5^{x+1}-5^x=2^{x+1}+2^{x+3}$

Giải phương trình ${(7+4\sqrt{3})}^{2x+1}=2-\sqrt{3}$

Giải phương trình $4^{{\cos }^{2}x}-1=0$

Giải phương trình $3^x{.2}^{x+1}=72$

---

Đưa về cùng cơ số

Giải phương trình $3^{x-4}={\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^{3x-1}$

Giải phương trình $3^{x-2}={\displaystyle \frac{3}{9^x}}$

Giải phương trình ${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{2x-1}={\left(2\sqrt{2}\right)}^{x+2}$

Giải phương trình $3^{-x^2+4x}={\displaystyle \frac{1}{243}}$

Giải phương trình ${(1,5)}^{5x-7}={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{x+1}$

Giải phương trình $2^{x^2+3x-2}={16}^{x+1}$

Giải phương trình ${(3+2\sqrt{2})}^{x^2-x+2}={(3-2\sqrt{2})}^{x^2-2}$

Giải phương trình ${(2+\sqrt{3})}^{3x+1}={(2-\sqrt{3})}^{5x+7}$

Giải phương trình $4^x+4^{x+1}=2^x+2^{x+1}$

Giải phương trình ${(\sqrt{5}+2)}^{x-1}={(\sqrt{5}-2)}^{\frac{x-1}{x+1}}$

---

Đặt ẩn phụ

Giải phương trình $4^{2x}-{10.4}^x+16=0$

Giải phương trình $3^{2x}-{4.3}^x+1=0$

Giải phương trình $4^{x^2-x-1}+2^{x^2-x}=3$

Giải phương trình $4^x-4^{1-x}=3$

Giải phương trình ${(7+4\sqrt{3})}^x+{(2+\sqrt{3})}^x=6$

Giải phương trình ${(\sqrt{2}-1)}^x+{(\sqrt{2}+1)}^x-2\sqrt{2}=0$

Giải phương trình $5^{x-1}+5.{(0,2)}^{x-2}=26$

Giải phương trình $9^{x+1}-{13.6}^x+4^{x+1}=0$

Giải phương trình ${27}^x+{12}^x={2.8}^x$

Giải phương trình ${(3+\sqrt{5})}^x+{(3-\sqrt{5})}^x={3.2}^x$

Giải phương trình ${3.8}^x+{4.12}^x-{18}^x-{2.27}^x=0$

Giải phương trình $4^x+2^{x+1}-3=0$

Giải phương trình ${25}^x-{20.5}^{x-1}+3=0$

---

Logarit hoá

Giải phương trình $3^x{.2}^{x^2}=1$

Giải phương trình $2^{x+3}=5^{x^2+2x-3}$