CẤP SỐ NHÂN

CẤP SỐ NHÂN

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q$

Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân

$${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}q$$

---

GHI NHỚ

Số hạng tổng quát (SHTQ)

$${{u}_{n+1}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}},\left( n\ge 2 \right)$$

Tính chất

$$u_{k}^{2}={{u}_{k-1}}{{u}_{k+1}},\left( k\ge 2 \right)$$

Tổng của $n$ số hạng đầu tiên

$${{S}_{n}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}$$

---

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân biết $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\ \end{align} \right.$

Ta có $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=51 \\ & {{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{5}}=102 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{4}} \right)=51\left( * \right) \\ & {{u}_{1}}q\left( 1+{{q}^{4}} \right)=102\left( ** \right) \\ \end{align} \right.$

Lập tỷ số ta được $\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{4}} \right)}{{{u}_{1}}q\left( 1+{{q}^{4}} \right)}=\dfrac{51}{102}\Leftrightarrow \dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow q=2$

Thay $q=2$ vào $\left( * \right)$ ta được: ${{u}_{1}}\left( 1+{{2}^{4}} \right)=51\Leftrightarrow {{u}_{1}}=3$

---

Ví dụ 2. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$, biết ${{u}_{1}}=3$ và $q=\dfrac{1}{2}$.

a) Tính ${{u}_{7}}$

b) Hỏi $\dfrac{3}{256}$ là số hạng thứ mấy?

a) Ta có: ${{u}_{7}}={{u}_{1}}{{q}^{6}}=3.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{6}}=\dfrac{3}{64}$

b) Ta có: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}\Leftrightarrow \dfrac{3}{256}=3.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n-1}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{8}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n-1}}$

$\Leftrightarrow n-1=8\Leftrightarrow n=9$

Vậy $\dfrac{3}{256}$ là số hạng thứ 9

---

Ví dụ 3. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$, biết ${{u}_{1}}=2;{{u}_{3}}=18$. Tính tổng của $10$ số hạng đầu tiên

Ta có: ${{u}_{3}}={{u}_{1}}{{q}^{2}}\Leftrightarrow 18=2{{q}^{2}}\Leftrightarrow {{q}^{2}}=9\Leftrightarrow q=\pm 3$

TH1: $q=3$, ta có ${{S}_{10}}=\dfrac{2\left( 1-{{3}^{10}} \right)}{1-3}=59048$

TH2: $q=-3$, ta có ${{S}_{10}}=\dfrac{2\left( 1-{{\left( -3 \right)}^{10}} \right)}{1-\left( -3 \right)}=-29524$

---

Ví dụ 4. Tính tổng $S=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{3}^{n}}}$

Nhận xét, dãy $1;\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{{{3}^{2}}};\ldots ;\dfrac{1}{{{3}^{n}}}$ là một cấp số nhân với $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & q=\dfrac{1}{3} \\ \end{align} \right.$

Khi đó $S$ là tổng của cấp số nhân

$S=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}=\dfrac{1\left( 1-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n}} \right)}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}\cdot \left( 1-\dfrac{1}{{{3}^{n}}} \right)$