CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài viết nhỏ này sẽ giúp các em biết cách tìm cực trị của một số hàm số hay gặp trong chương trình như hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương

Các em phải ôn lại công thức tính đạo hàm trước nha và phải xem lại bài tính đơn điệu của hàm số nữa

1. Một chút lý thuyết

Định nghĩa. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $D$ và $x_0\in D$

+) $x_0$ được gọi là một điểm cực đại của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ sao cho $(a;b)\subset D$ và $$f(x)<f(x_0),\forall x\in (a;b)\setminus \{x_0\}$$ Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f(x)$

+) $x_0$ được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ sao cho $(a;b)\subset D$ và $$f(x)>f(x_0),\forall x\in (a;b)\setminus \{x_0\}$$ Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f(x)$

2. Các bước tìm cực trị của hàm số (Cách 1)

Bước 1. Tìm $f'(x)$

Bước 2. Tìm các điểm $x_i$ mà $f'(x_i)=0$ hoặc không tồn tại đạo hàm (hàm số vẫn liên tục)

Bước 3. Lâp bảng xét dấu $f'(x)$ (bảng biến thiên)

Bước 4. Dựa vào bảng xét dấu kết về luận cực trị

Các bước tìm cực trị hàm số (Cách 2)

Đối với cách 2 này thì áp dụng cho các hàm số mà có thể tìm được đạo hàm cấp 2

Bước 1. Tìm $f'(x)$

Bước 2. Tìm các điểm $x_i$ mà $f'(x_i)=0$

Bước 3. Tìm đạo hàm cấp 2 $y''$

Bước 4. Kết luận, Nếu $y''(x_i) < 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại, nếu $y''(x_0) > 0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu

3. Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số $y=2x^3-6x+2$

Giải Cách 1

Ta có $y'=6x^2-6$ (Ôn lại công thức tính đạo hàm)

$\displaystyle y'=0\Leftrightarrow 6x^2-6=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1\\x=1 \end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu

\begin{array}{l|lllllll} x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty\\ \hline y' & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}

Kết luận.

+) Tại vị trí $x=-1$, dấu của $y'$ chuyển từ + sang -, nghĩa là đồ thị của hàm số đi lên rồi lại đi xuống, tức $x=-1$ nó là điểm cực đại, còn $y=6$ là giá trị cực đại

+) Tương tự tại vị trí $x=1$, dấu của $y'$ chuyển từ - sang +, nghĩa là đồ thị của hàm số đi xuống rồi lại đi lên, tức $x=1$ nó là điểm cực tiểu, còn $y=-2$ là giá trị cực tiểu

Giải Cách 2

Ta có $y'=6x^2-6$ (Ôn lại công thức tính đạo hàm)

$\displaystyle y'=0\Leftrightarrow 6x^2-6=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1\\x=1 \end{array}\right.$

Ta lại có $y''=12x$

Khi đó $y''(-1)=-12< 0$ nên $x=-1$ là điểm cực đại và $y=6$ là giá trị cực đại

$y''(1)=12 > 0$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu và $y=-2$ là giá trị cực tiểu

Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số $y=x^4-2x^2=1$

Giải Cách 1

Ta có $y'=4x^3-4x$ (Ôn lại công thức tính đạo hàm)

$\displaystyle y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1\\x=0\\x=1 \end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu

\begin{array}{l|lllllllll} x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty\\ \hline y' & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}

Kết luận

+) Tại $x=-1,x=1$ là các điểm cực tiểu

+) Tại $x=0$ là điểm cực đại

Giải Cách 2

Ta có $y'=4x^3-4x$ (Ôn lại công thức tính đạo hàm)

$\displaystyle y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1\\x=0\\x=1 \end{array}\right.$

Ta lại có $y''=12x^2-4$

+) $y''(-1)=y''(1)=8 > 0$ nên $x=-1,x=1$ là các điểm cực tiểu

+) $y''(0)=-4 < 0$ nên $x=0$ là điểm cực đại

Kết luận

Hy vọng qua bài viết nhỏ này, các em sẽ biết cách tìm cực trị của các hàm số cơ bản hay gặp trong chương trình học

Đây là những dạng toán rất cơ bản, các em phải nắm vững, làm nền cho những kiến thức rộng hơn về sau

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ