PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Trước hết, các em phải biết công thức nghiệm các phương trình lượng giác cơ bản như $\sin x=m, \cos x=m, \tan x=m, \textrm{cot} x=m$

Phương trình bậc 2 đối với hàm số $\sin x$

Ví dụ 1. Giải phương trình ${{\sin }^{2}}x-3\sin x+2=0$

Giải

Đặt $t=\sin x$, khi đó $t\in \left[ -1;1 \right]$

Phương trình đã cho trở thành

${{t}^{2}}-3t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1(chon) \\ & t=2(loai) \\ \end{align} \right.$

Với $t=1\Leftrightarrow \sin x=1$ (Đây là phương trình lượng giác cơ bản dạng đặt biệt)

$\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$

Ví dụ 2. Giải phương trình $\cos 2x +\sin x=0$

Giải

Trước hết các em phải nhớ công thức nhân đôi của $\cos 2x$

$\cos 2x = 1-2\sin^2x$

Áp dụng vào bài toán

Từ phương trình ban đầu ta suy ra $\cos 2x +\sin x=0\Leftrightarrow 1-2\sin^2 x+\sin x$

$\Leftrightarrow -2\sin^2 x+\sin x+1=0$

Đặt $t=\sin x$. Khi đó $t\in \left[ -1;1 \right]$

Khi đó phương trình trở thành

$\displaystyle -2t^2+t+1=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=1(thoa)\\t=-\dfrac{1}{2}(thoa) \end{array}\right.$

+) Với $\displaystyle t=1\Leftrightarrow \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi (k\in\mathbb Z)$