PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Đời thăng trầm như đồ thị hình sin

Mong đôi ta chung niềm tin bước tiếp

Anh vẫn luôn là đường tròn ngoại tiếp

Che chở em tam giác nhỏ yêu thương...

---

Trong toàn bộ bài viết này thì ta ngầm hiểu $k\in \mathbb Z$.

1. $\sin x=m$

Cho phương trình $\sin x=m\ (1), (|m|\le 1)$. Nếu $\alpha$ là một nghiệm của $(1)$, khi đó $$\sin x=m\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\alpha+k2\pi\\ x=\left(\pi-\alpha \right) +k2\pi\end{array}\right.\quad (k\in \mathbb Z)$$

Lưu ý. Nếu $|m|> 1$ thì phương trình $(1)$ vô nghiệm.

Ví dụ 1. Giải phương trình $\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}$

Giải

Ta có $\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin x=\sin \left(\frac{\pi}{6} \right)$

$\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\left(\pi -\dfrac{\pi}{6} \right)+k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right.$

Ví dụ 2. Giải phương trình $\displaystyle \sin x=\frac{2}{3}$

Giải

Lưu ý một chút là bài này lấy máy casio bấm shift sin ra một số khá lẻ, do vậy ta sẽ dùng arcsin

Ta có $\displaystyle \sin x=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\arcsin\left(\dfrac{2}{3} \right)+k2\pi \\ x=\pi - \arcsin \left(\dfrac{2}{3} \right) +k2\pi \end{array} \right.$

Quá đơn giản phải không nào

Các trường hợp đặc biệt của $\sin x$

Đối với các trường hợp đăặ biệt này thì các em nên thuộc lòng, như vậy sẽ giúp cho quá trình làm toán dạng này trở nên nhanh chóng

$\displaystyle \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi$

$\displaystyle \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$

$\displaystyle \sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$

---

2. $\cos x=m$

Cho phương trình $\cos x=m\ (2), (|m|\le 1)$. Nếu $\alpha$ là một nghiệm của $(2)$, khi đó $$\cos x=m\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\alpha+k2\pi\\ x=-\alpha+k2\pi\end{array}\right.\quad (k\in \mathbb Z)$$

Lưu ý. Nếu $|m|>1$ thì phương trình $(2)$ vô nghiệm.

Ví dụ 1. Giải phương trình $\displaystyle \cos x=\frac{1}{2}$

Giải

$\displaystyle \cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos x=\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)$

$\displaystyle \left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi \\ x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi \end{array}\right.$

Ví dụ 2. Giải phương trình $\displaystyle \cos x=\frac{2}{3}$

Giải

Lưu ý một chút là bài này lấy máy casio bấm shift cos ra một số khá lẻ, do vậy ta sẽ dùng arccos

$\displaystyle \cos x=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\arccos\left(\dfrac{2}{3} \right)+k2\pi \\ x=-\arccos\left(\dfrac{2}{3} \right)+k2\pi \end{array}\right.$

Các trường hợp đặc biệt của $\cos x$

$\displaystyle \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$

$\displaystyle \cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi$

$\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi$

---

3. $\tan x=m$

Cho phương trình $\tan x=m\ (3), (\cos x\ne 0)$. Nếu $\alpha$ là một nghiệm của $(3)$, khi đó $$\tan x=m\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi \quad (k\in\mathbb Z)$$

Ví dụ 1. Giải phương trình $\tan x=-1$

Giải

$\displaystyle \tan x=-1\Leftrightarrow \tan x=\tan \left(\frac{\pi}{4} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi$

Ví dụ 2. Giải phương trình $\tan x=3$

Giải

Lưu ý một chút là bài này lấy máy casio bấm shift tan ra một số khá lẻ, do vậy ta sẽ dùng arctan

$\tan x=3\Leftrightarrow x=\arctan(3)+k\pi$

---

4. $\cot x=m$

Cho phương trình $\cot x=m\ (4), (\sin x\ne 0)$. Nếu $\alpha$ là một nghiệm của $(4)$, khi đó $$\cot x=m\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi \quad (k\in\mathbb Z)$$

Ví dụ 1. Giải phương trình $\cot x=1$

Giải

$\displaystyle \cot x=1\Leftrightarrow \cot x=\cot\left(\frac{\pi}{4} \right)$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi$

Ví dụ 2. Giải phương trình $\cot x=-3$

Giải

Lưu ý một chút là bài này lấy máy casio bấm shift tan của $\displaystyle -\frac{1}{3}$ (nghịch đảo của số $-3$) ra một số khá lẻ, do vậy ta sẽ dùng arccot

$\cot x=-3\Leftrightarrow x=\textrm{arccot}(-3)+k\pi$

---

Một chút lưu ý nhỏ

Đối với hàm $\sin x$ và hàm $\cos x$ thì ta cộng thêm đuôi $k2\pi$

Đối với hàm $\tan x$ và hàm $\cot x$ thì ta cộng thêm đuôi $k\pi$