TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số

Bước 1. Tập xác định

Bước 2. Tìm $f'(x)$, cho $f'(x)=0$, tìm nghiệm (hoặc các điểm mà $f(x)$ không xác định)

Bước 3. Xét dấu $f'(x)$

Bước 4. Kết luận

---

2. Tính đơn điệu của hàm số bậc 3

Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số $y=x^3-2x^2+x+1$

Giải

+) Tập xác định : $\mathscr D=\mathbb R$

+) $y'=3x^2-4x+1$

$y'=0 \Leftrightarrow 3x^2-4x+1=0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{1}{3}\end{array}\right.$

+) Bảng biến thiên

+) Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số đồng biến trên $\displaystyle \left(-\infty;\frac{1}{3} \right)$ và $(1;+\infty)$

Hàm số nghịch biến trên $\displaystyle \left(\frac{1}{3};1 \right)$

Lưu ý. Một chút lưu ý nhẹ là nếu hàm số đồng biến thì dáng đồ thị đi lên, nếu hàm số nghịch biến thì dáng đồ thị đi xuống

---

3. Tính đơn điệu của hàm số trùng phương

Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của hàm số $y=x^4-2x^2+3$

Giải.

+) Tập xác định $\mathscr D= \mathbb R$

$y'=4x^3-4x$

$y'=0\Leftrightarrow 4x^3-4x=0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\ x=1 \\ x=-1 \end{array}\right.$

+) Bảng biến thiên

+) Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ và $(2;+\infty)$

Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$

---

4. Tính đơn điệu hàm $\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d}$

Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của hàm số $\displaystyle y=\frac{x-1}{2x+3}$

Giải.

+) Tập xác định $\displaystyle \mathscr D=\mathbb R \setminus \left\{-\frac{3}{2} \right\}$

$\displaystyle y'=\frac{5}{(2x+3)^2}$

Dễ thấy $y'>0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định

Do đó, hàm số luôn đồng biến trên $\displaystyle \left(-\infty;-\frac{3}{2} \right)$ và $\displaystyle \left(-\frac{3}{2};+\infty \right)$