TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số

Bước 1. Tập xác định

Bước 2. Tìm $f^{\prime }(x)$, cho $f^{\prime }(x)=0$, tìm nghiệm (hoặc các điểm mà $f(x)$ không xác định)

Bước 3. Xét dấu $f^{\prime }(x)$

Bước 4. Kết luận

---

2. Tính đơn điệu của hàm số bậc 3

Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số $y=x^3-2x^2+x+1$

Giải

+) Tập xác định : $\mathcal{D}=\mathbb{R}$

+) $y^{\prime }=3x^2-4x+1$

$y^{\prime }=0\iff 3x^2-4x+1=0$

${\displaystyle \iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{1}{3}\end{array}}$

+) Bảng biến thiên

+) Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số đồng biến trên ${\displaystyle (-\mathrm{\infty };\frac{1}{3})}$ và $(1;+\mathrm{\infty })$

Hàm số nghịch biến trên ${\displaystyle (\frac{1}{3};1)}$

Lưu ý. Một chút lưu ý nhẹ là nếu hàm số đồng biến thì dáng đồ thị đi lên, nếu hàm số nghịch biến thì dáng đồ thị đi xuống

---

3. Tính đơn điệu của hàm số trùng phương

Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của hàm số $y=x^4-2x^2+3$

Giải.

+) Tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}$

$y^{\prime }=4x^3-4x$

$y^{\prime }=0\iff 4x^3-4x=0$

${\displaystyle \iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=-1\end{array}}$

+) Bảng biến thiên

+) Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ và $(2;+\mathrm{\infty })$

Hàm số nghịch biến trên $(-\mathrm{\infty };-1)$ và $(0;1)$

---

4. Tính đơn điệu hàm ${\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d}}$

Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của hàm số ${\displaystyle y=\frac{x-1}{2x+3}}$

Giải.

+) Tập xác định ${\displaystyle \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{-\frac{3}{2}\}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{5}{(2x+3{)}^2}}$

Dễ thấy $y^{\prime }>0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định

Do đó, hàm số luôn đồng biến trên ${\displaystyle (-\mathrm{\infty };-\frac{3}{2})}$ và ${\displaystyle (-\frac{3}{2};+\mathrm{\infty })}$