BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM [LỚP 11]

BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

1. Lý thuyết

Nhắc lại kiến thức một chút

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và có $f(a)f(b) < 0$ thì phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trên $(a;b)$

---

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình $x^3-x^2+x-1=0$ có ít nhất một nghiệm

Giải.

Đặt $f(x)=x^3-x^2+x-1$

Xét hàm số $f(x)$ trên $[0;2]$

+) $f(x)$ liên tục trên $[0;2]$

+) $\displaystyle \begin{cases}f(0)=-1\\ f(2)=5 \end{cases}$

$\Rightarrow f(0)f(2)=-5 < 0$

Suy ra $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trên $[0;2]$

---

Ta sẽ đi sang một ví dụ có chứa tham số $m$

Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình $\left(m^2-2m+2 \right)x^3+3x-3=0$ luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của tham số $m$

Giải

Đặt $f(x)=\left(m^2-2m+2 \right)x^3+3x-3$

Xét hàm số $f(x)=\left(m^2-2m+2 \right)x^3+3x-3$ trên $[0;1]$

+) Hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;2]$

+) Ta có $f(0)=-3< 0$

$f(1)=m^2-2m+2=(m-1)^2+1 > 0$

$\Rightarrow f(0)f(1) < 0$

Suy ra $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trên $[0;1]$

---

Một bài chứng minh tồn tại nghiệm dạng đặc thù

Ví dụ 3. Cho ba số thực $a,b,c\left( a\ne 0 \right)$ thoả mãn $6a+3b+2c=0$. Chứng minh rằng phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]$

Giải

Đặt $f(x)=ax^2+bx+c$

Xét $f(x)$ trên $\left[0;2\right]$

+) Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[0;2\right]$

+) $f(0)=c$

$f(2)=4a+2b+c$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{3}{2}f(2)=6a+3b+\frac{3}{2}c$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{3}{2}f(2)=(6a+3b+2c)-\frac{1}{2}c$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{3}{2}f(2)=-\frac{1}{2}c$

$\displaystyle \Rightarrow f(2)=-\frac{1}{3}c$

Suy ra $\displaystyle f(0)f(2)=-\frac{1}{3}c^2 \le 0$

Vậy phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm trên $\left[0;2\right]$

---

Một bài đặc thù khác

Ví dụ 4. Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=f(x+1)$ đều liên tục trên đoạn $\left[0;2\right]$ và $f(0)=f(2)$. Chứng minh rằng phương trình $f(x)-f(x+1)=0$ luôn có nghiệm thuộc $\left[0;1\right]$

Đặt $g(x)=f(x)-f(x+1)$

Xét hàm số $g(x)$ trên $\left[0;1\right]$

+) Hàm số $g(x)$ liên tục trên $\left[0;1\right]$

+) Ta có $g(0)=f(0)-f(1)$

$g(1)=f(1)-f(2)=-\left[f(2)-f(1)\right]=-\left[f(0)-f(1)\right]$ (do $f(0)=f(2)$)

Suy ra $g(0)g(1)=-\left[f(0)-f(1) \right]^2\le 0$

Vậy $g(x)$ luôn có nghiệm trên $\left[0;1\right]$

---

3. Bài tập rèn luyện

Một số bài tập để các em rèn luyện các dạng toán đã được giải ở các ví dụ trên

Bài 4.1 Cho ba số thực $a,b,c\left( a\ne 0 \right)$ thoả mãn $2a+6b+19c=0$. Chứng minh rằng phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;\frac{1}{3} \right]$

Bài 4.2 Cho ba số thực $a,b,c\left( a\ne 0 \right)$ thoả mãn $3a+4b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;\frac{3}{4} \right]$

Bài 4.3 Cho ba số thực $a,b,c\left( a\ne 0 \right)$ thoả mãn $2a+3b+5c=0$. Chứng minh rằng phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;\frac{2}{3} \right]$

Bài 4.4 Cho ba số thực $a,b,c\left( a\ne 0 \right)$ thoả mãn $4a-5b+9c=0$. Chứng minh rằng phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\frac{4}{5};0 \right]$