Phép quay - Phép đối xứng tâm

1. Phép quay

1.1. Định nghĩa

Định nghĩa. Cho điểm $O$ và góc lượng giác $\alpha$. Phép biến hình biến $O$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M^{\prime }$ sao cho $OM=O{M}^{\prime }$ và góc lượng giác $(OM;O{M}^{\prime })$ bằng $\alpha$ được gọi là phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha$.

$O$ được gọi là tâm quay. Góc $\alpha$ được gọi là góc quay.

Ký hiệu. $Q_{(O;\alpha )}$.

1.2. Tính chất

Tính chất 1. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nghĩa là phép quay là phép dời hình.

Tính chất 2. Phép quay biến

1. Đường thẳng thành đường thẳng;
2. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
3. Tam giác thành tam giác bằng nó;
4. Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

1.3. Biểu thức tọa độ của phép quay

Quay tâm $O$. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $M(x;y)$. Phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha$ biến $M$ thành $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$. Khi đó $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cos \alpha -y\sin \alpha \\ y^{\prime }=x\sin \alpha +y\cos \alpha \end{array}$$

Quay tâm $I$. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $M(x;y),I(a;b)$. Phép quay tâm $I$ góc quay $\alpha$ biến $M$ thành $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$. Khi đó $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=a+(x-a)\cos \alpha -(y-b)\sin \alpha \\ y^{\prime }=b+(x-a)\sin \alpha +(y-b)\cos \alpha \end{array}$$

1.4 Biểu thức tọa độ của góc quay đặc biệt

Góc quay ${90}^{\circ }$

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-y\\ y^{\prime }=x\end{array}$$

Góc quay $-{90}^{\circ }$

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=y\\ y^{\prime }=-x\end{array}$$

2. Phép đối xứng tâm

2.1. Định nghĩa

Định nghĩa. Cho điểm $I$. Phép biến hình biến điểm $I$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ khác $I$ thành $M^{\prime }$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn $M{M}^{\prime }$ được gọi là phép đối xứng tâm $I$. Nghĩa là $$\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{I{M}^{\prime }}=\overrightarrow{0}.$$

Điểm $I$ được gọi là tâm đối xứng.

Ký hiệu. $D_I$.

2.2. Tính chất

Tính chất 1. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nghĩa là phép đối xứng tâm là phép dời hình.

Tính chất 2. Phép đối xứng tâm biến

1. Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó;
2. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
3. Tam giác thành tam giác bằng nó;
4. Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2.3. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho $M(x;y)$, phép đối xứng tâm $O$ biến $M$ thành $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$, khi đó $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-x\\ y^{\prime }=-y\end{array}.$$

2.4. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa. Điểm $I$ được gọi là tâm đối xứng của hình $\mathcal{H}$ nếu phép đối xứng tâm $I$ biến hình $\mathcal{H}$ thành chính nó.

Ví dụ. Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn, ...