Phép vị tự

1. Định nghĩa

Định nghĩa. Cho một điểm $O$ cố định và số $k\ne 0$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=k\overrightarrow{OM}$ được gọi là phép vị tự tâm $O$ tỷ số $k$.

Ký hiệu. $V_{(O,k)}$.

Nhận xét.

1. Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó;
2. Khi $k=1$, phép vị tự là phép đồng nhất;
3. Khi $k=-1$, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự;
4. $M^{\prime }=V_{(O,k)}(M)\iff M=V_{(O,\frac{1}{k})}(M^{\prime })$

2. Tính chất

Tính chất 1. Nếu phép vị tự tỷ số $k$ biến hai điểm $M,N$ tùy ý theo thứ tự thành hai điểm $M^{\prime },N^{\prime }$ thì $\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}=k\overrightarrow{MN}$ và $M^{\prime }{N}^{\prime }=|k|.MN$.

Tính chất 2. Phép vị tự tỷ số $k$ biến

1. Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
2. Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó;
3. Tia thành tia;
4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng;
5. Tam giác thành tam giác đồng dạng;
6. Góc thành góc bằng nó;
7. Đường tròn có bán kính $R$ thành đường tròn có bán kính $|k|.R$.

3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $I(x_0;y_0),M(x;y)$. Gọi $M(x^{\prime };y^{\prime })=V_{(I,k)}(M)$. Khi đó $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=kx+(1-k)x_0\\ y^{\prime }=ky+(1-k)y_0\end{array}.$$

4. Tâm vị tự của hai đường tròn

Phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn. Ngược lại, cho trước hai đường tròn, có tồn tại phép vị tự nào  biến đường tròn này thành đường tròn kia không?

Định lý. Với hai đường tròn bất kỳ, luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Thuật ngữ.

1. Nếu có phép vị tự tâm $O$ biến đường tròn này thành đường tròn kia thì $O$ được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn đó;
2. Nếu phép vị tự đó có tỷ số dương thì tâm $O$ được gọi là tâm vị tự ngoài;
3. Nếu phép vị tự đó có tỷ số âm thì tâm $O$ được gọi là tâm vị tự trong.

Cách xác định tâm vị tự của hai đường tròn

Trường hợp 1. Hai đường tròn cùng tâm $I$ và $R\ne R^{\prime }$.

Cho $(I;R)$ và $(I;R^{\prime })$. Khi đó phép vị tự tâm $I$ tỷ số $\frac{R^{\prime }}{R}$ hoặc $-\frac{R^{\prime }}{R}$ biến đường tròn $(I;R)$ thành $(I;R^{\prime })$.

Trường hợp 2. Hai đường tròn có $I\ne I^{\prime }$ và $R\ne R^{\prime }$.

Cho $(I;R)$ và $(I^{\prime };R^{\prime })$. Xác định tâm vị tự của hai đường tròn.

Bước 1. Lấy điểm $M$ tùy ý thuộc $(I;R)$.

Bước 2. Vẽ đường thẳng qua $I^{\prime }$ và song song với $IM$ cắt $(I^{\prime };R^{\prime })$ tại $M^{\prime }$ và $M^{″}$.

Bước 3. Vẽ $M{M}^{\prime }$ cắt $I{I}^{\prime }$ tại $O$ (giả sử nằm ngoài $I{I}^{\prime }$). Vẽ $M{M}^{″}$ cắt $I{I}^{\prime }$ tại $O_1$ (giả sử nằm trong $I{I}^{\prime }$).

Bước 4. Khi đó, phép vị tự tâm $O$ tỷ số $k=\frac{R^{\prime }}{R}$ và phép vị tự tâm $O_1$ tỷ số $k_1=-\frac{R^{\prime }}{R}$ biến đường tròn $(I;R)$ thành đường tròn $(I^{\prime };R^{\prime })$.

Trường hợp 3. Hai đường tròn có $I\ne I^{\prime }$ và $R=R^{\prime }$.

Cho $(I;R)$ và $(I^{\prime };R)$. Xác định tâm vị tự của hai đường tròn.

Bước 1. Lấy điểm $M$ tùy ý thuộc $(I;R)$.

Bước 2. Vẽ đường thẳng qua $I^{\prime }$ và song song với $IM$ cắt $(I^{\prime };R)$ tại $M^{\prime }$ và $M^{″}$.

Bước 3. Giả sử $M{M}^{\prime }//I{I}^{\prime }$. Vẽ $M{M}^{″}$ cắt $I{I}^{\prime }$ tại $O_1$.

Bước 4. Khi đó phép vị tự tâm $O_1$ tỷ số $k=-\frac{R}{R}=-1$ biến đường tròn $(I;R)$ thành $(I^{\prime };R)$.