Nhị thức Newton

1. Công thức nhị thức Newton

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k=C_n^0{a}^n{b}^0+C_n^1{a}^{n-1}{b}^1+\cdots +C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+\cdots +C_n^n{b}^n.$$

Vai trò của $a$ và $b$ là như nhau nên ta cũng có công thức tương đương

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^k{b}^{n-k}=C_n^0{b}^n+C_n^1{a}^1{b}^{n-1}+\cdots +C_n^k{a}^k{b}^{n-k}+\cdots +C_n^n{a}^n.$$

Nhận xét.

1. Số các số hạng là $n+1$
2. Tổng của các số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng bằng $n$
3. Số hạng thứ $k+1$ trong khai triển là $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$
4. Các hệ số cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau

Một số khai triển hay sử dụng

$$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^k=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+\cdots +C_n^n{x}^n$$

$$(1-x{)}^n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{C}_n^k{x}^k=C_n^0-C_n^{1}x+\cdots +(-1{)}^n{C}_n^n{x}^n$$

Hệ quả

Nếu cho $x=1$ ở hai công thức trên thì ta thu được hệ quả sau

$$2^n=C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^{n-1}+C_n^n$$

$$0=C_n^0-C_n^1+\cdots +(-1{)}^k{C}_n^k+\cdots +(-1{)}^n{C}_n^n$$

---

Các ví dụ

Ví dụ 1. Trong khai triển ${(x+2)}^{n+3}(n\in \mathbb{N})$ có tất cả $16$ số hạng. Tìm $n$

Giải

Số các số hạng trong khai triển là $(n+3)+1=16\iff n=12$

Vậy $n=12$

---

Ví dụ 2. Tìm hệ số của $x^{12}{y}^{13}$ trong khai triển $(x+y{)}^{25}$

Giải

Theo công thức nhị thức Newton thì hệ số của $x^{12}{y}^{13}$ là $C_{25}^{13}$.

---

Ví dụ 3. Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(3x-4{)}^5$.

Giải

Ta có $(3x-4{)}^5=(3x+(-4){)}^5$. Theo công thức nhị thức Newton, số hạng chứa $x^3$ là $C_5^2(2x{)}^3(-4{)}^2=4320x^3$

Vậy hệ số của $x^3$ là $4320$.

---

Ví dụ 4. Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\displaystyle {(x^2+\frac{2}{x})}^6}$ $(x\ne 0)$

Giải

(Xem lại một số công thức luỹ thừa)

Số hạng tổng quát (SHTQ): ${\displaystyle T_{k+1}=C_6^k{\left(x^2\right)}^k{\left(\frac{2}{x}\right)}^{6-k}}$

${\displaystyle \Rightarrow T_{k+1}=C_6^k{x}^{2k}\frac{2^{6-k}}{x^{6-k}}}$

${\displaystyle \Rightarrow T_{k+1}=C_6^k{2}^{6-k}{x}^{2k-(6-k)}}$

Yêu cầu bài toán tương ứng với: $2k-(6-k)=0\iff 3k-6=0\iff k=2$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $T_3=C_6^2{2}^{6-2}=2^4{C}_6^2$

---

Ví dụ . Tìm số tự nhiên $n$ thỏa $$C_{2n}^0+C_{2n}^2+\cdots +C_{2n}^{2n}=2^{2021}.$$

Giải. Đặt $A=C_{2n}^0+C_{2n}^2+\cdots +C_{2n}^{2n}$.

Đặt $B=C_{2n}^1+C_{2n}^3+\cdots +C_{2n}^{2n-1}$.

Dễ thấy $A+B=C_{2n}^0+C_{2n}^1+\cdots +C_{2n}^{2n}=(1+1{)}^{2n}=2^{2n}$.

$A-B=C_{2n}^0-C_{2n}^1+\cdots -C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}=(1-1{)}^{2n}=0$.

Suy ra $A=\frac{2^{2n}}{2}=2^{2021}\iff n=1011$

---

Ví dụ 3. Tính tổng $S=C_{2020}^0+C_{2020}^1+\cdots +C_{2020}^{2020}$.

Giải. Áp dụng nhị thức Newton cho $a=1,b=1$ ta được $$(1+1{)}^{2020}=C_{2020}^0+C_{2020}^1+\cdots +C_{2020}^{2020}$$ Vậy $$S=2^{2020}$$

---

MỞ RỘNG CHO NHỊ THỨC NEWTON

${\displaystyle {(a+b+c)}^n=\sum _{0\le q\le p\le n}{C}_n^p{C}_p^q{a}^{n-p}{b}^{p-q}{c}^q}$

Số hạng tổng quát thứ $p+1$ là: $T=C_n^p{C}_p^q{a}^{n-p}{b}^{p-q}{c}^q$ với $0\le q\le p\le n$

Ví dụ. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^4$ trong khai triển $P\left(x\right)={(3x^2+x+1)}^{10}$

Với $0\le q\le p\le 10$, ta có số hạng tổng quát thứ $p+1$ là

${\displaystyle T=C_{10}^p{C}_p^q{\left(3x^2\right)}^{10-p}{\left(x\right)}^{p-q}{\left(1\right)}^q}$

${\displaystyle T=C_{10}^p{C}_p^q\left(3x^{2(10-p)}\right){\left(x\right)}^{p-q}}$

${\displaystyle T=C_{10}^p{C}_p^q{3}^{2(10-p)}{x}^{2(10-p)}{x}^{p-q}}$

${\displaystyle T=C_{10}^p{C}_p^q{3}^{2(10-p)}{x}^{2(10-p)+p-q}}$

Yêu cầu bài toán tương ứng: $2(10-p)+p-q=4$

Hay $p+q=16$

Do $0\le q\le p\le 10$ nên ta chọn được các bộ $(p;q)\in \{(8;8),(9;7),(10;6)\}$

Khi đó hệ số của $x^4$ trong khai triển trên là

${\displaystyle C_{10}^8{C}_8^8{3}^{2(10-8)}+C_{10}^9{C}_9^7{3}^{2(10-9)}+C_{10}^{10}{C}_{10}^6{3}^{2(10-10)}=1695}$

Ví dụ Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{16}$ trong khai triển ${(1+x^3(2+x))}^{10}$

Giải

${\displaystyle {(1+x^3(2+x))}^{10}={\sum _{p=0}^{10}{C}_{10}^p{1}^{10-p}\left(x^3(2+x)\right)}^p}$

${\displaystyle =\sum _{p=0}^{10}{C}_{10}^p{x}^{3p}{(2+x)}^p=\sum _{p=0}^{10}{C}_{10}^p{x}^{3p}\sum _{q=0}^p{C}_p^q{2}^{p-q}{x}^q}$

${\displaystyle =\sum _{p=0}^{10}\sum _{q=0}^p{C}_{10}^p{C}_p^q{2}^{p-q}{x}^{3p}{x}^q=\sum _{p=0}^{10}\sum _{q=0}^p{C}_{10}^p{C}_p^q{2}^{p-q}{x}^{3p+q}}$

YCBT$\iff 3p+q=16$ với $0\le q\le p\le 10$

Suy ra $(p;q)\in \{(5;1);(4;4)\}$

Suy ra hệ số cần tìm là: $C_{10}^5{C}_5^1{2}^{5-1}+C_{10}^4{C}_4^4{2}^{4-4}=20370$

---

THÊM PHIẾU BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM