Nhị thức Newton

1. Công thức nhị thức Newton

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C^k_na^{n-k}b^k=C^0_na^nb^0+C^1_na^{n-1}b^1+\cdots +C^k_na^{n-k}b^k+\cdots+C^n_n b^n.$$

Vai trò của $a$ và $b$ là như nhau nên ta cũng có công thức tương đương

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C^k_na^{k}b^{n-k}=C^0_nb^n+C^1_na^{1}b^{n-1}+\cdots +C^k_na^{k}b^{n-k}+\cdots+C^n_n a^n.$$

Nhận xét.

1. Số các số hạng là $n+1$
2. Tổng của các số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng bằng $n$
3. Số hạng thứ $k+1$ trong khai triển là $T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$
4. Các hệ số cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau

Một số khai triển hay sử dụng

$$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n C^k_n x^k=C^0_n+C^1_n x+C^2_n x^2+\cdots+C^n_n x^n$$

$$(1-x)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k C^k_n x^k=C^0_n-C^1_n x+\cdots+(-1)^n C^n_n x^n$$

Hệ quả

Nếu cho $x=1$ ở hai công thức trên thì ta thu được hệ quả sau

$$2^n=C^0_n+C^1_n+\cdots+C^{n-1}_n+C^n_n$$

$$0=C^0_n-C^1_n+\cdots+(-1)^k C^k_n+\cdots+(-1)^n C^n_n$$

---

Các ví dụ

Ví dụ 1. Trong khai triển ${{\left( x+2 \right)}^{n+3}}\,\,\,\left( n\in \mathbb{N} \right)$ có tất cả $16$ số hạng. Tìm $n$

Giải

Số các số hạng trong khai triển là $(n+3)+1=16\Leftrightarrow n=12$

Vậy $n=12$

---

Ví dụ 2. Tìm hệ số của $x^{12}y^{13}$ trong khai triển $(x+y)^{25}$

Giải

Theo công thức nhị thức Newton thì hệ số của $x^{12}y^{13}$ là $C^{13}_{25}$.

---

Ví dụ 3. Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(3x-4)^5$.

Giải

Ta có $(3x-4)^5=(3x+(-4))^5$. Theo công thức nhị thức Newton, số hạng chứa $x^3$ là $C^2_5(2x)^3(-4)^2=4320x^3$

Vậy hệ số của $x^3$ là $4320$.

---

Ví dụ 4. Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\displaystyle {{\left( {{x}^{2}}+\frac{2}{x} \right)}^{6}}$ $\left( x\ne 0 \right)$

Giải

(Xem lại một số công thức luỹ thừa)

Số hạng tổng quát (SHTQ): $\displaystyle {{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{k}}{{\left( \frac{2}{x} \right)}^{6-k}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}{{x}^{2k}}\frac{{{2}^{6-k}}}{{{x}^{6-k}}}$

$\displaystyle \Rightarrow {{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}{{2}^{6-k}}{{x}^{2k-\left( 6-k \right)}}$

Yêu cầu bài toán tương ứng với: $2k-\left( 6-k \right)=0\Leftrightarrow 3k-6=0\Leftrightarrow k=2$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: ${{T}_{3}}=C_{6}^{2}{{2}^{6-2}}={{2}^{4}}C_{6}^{2}$

---

Ví dụ . Tìm số tự nhiên $n$ thỏa $$C^0_{2n}+C^2_{2n}+\cdots+C^{2n}_{2n}=2^{2021}.$$

Giải. Đặt $A=C^0_{2n}+C^2_{2n}+\cdots+C^{2n}_{2n}$.

Đặt $B=C^1_{2n}+C^3_{2n}+\cdots+C^{2n-1}_{2n}$.

Dễ thấy $A+B=C^0_{2n}+C^1_{2n}+\cdots+C^{2n}_{2n}=(1+1)^{2n}=2^{2n}$.

$A-B=C^0_{2n}-C^1_{2n}+\cdots-C^{2n-1}_{2n}+C^{2n}_{2n}=(1-1)^{2n}=0$.

Suy ra $A=\frac{2^{2n}}{2}=2^{2021}\Leftrightarrow n=1011$

---

Ví dụ 3. Tính tổng $S=C^0_{2020}+C^1_{2020}+\cdots+C^{2020}_{2020}$.

Giải. Áp dụng nhị thức Newton cho $a=1,b=1$ ta được $$(1+1)^{2020}=C^0_{2020}+C^1_{2020}+\cdots+C^{2020}_{2020}$$ Vậy $$S=2^{2020}$$

---

MỞ RỘNG CHO NHỊ THỨC NEWTON

$\displaystyle {{\left( a+b+c \right)}^{n}}=\sum\limits_{0\le q\le p\le n}{C_{n}^{p}C_{p}^{q}{{a}^{n-p}}{{b}^{p-q}}{{c}^{q}}}$

Số hạng tổng quát thứ $p+1$ là: $T=C_{n}^{p}C_{p}^{q}{{a}^{n-p}}{{b}^{p-q}}{{c}^{q}}$ với $0\le q\le p\le n$

Ví dụ. Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{4}}$ trong khai triển $P\left( x \right)={{\left( 3{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{10}}$

Với $0\le q\le p\le 10$, ta có số hạng tổng quát thứ $p+1$ là

$\displaystyle T=C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{10-p}}{{\left( x \right)}^{p-q}}{{\left( 1 \right)}^{q}}$

$\displaystyle T=C_{10}^{p}C_{p}^{q}\left( 3{{x}^{2\left( 10-p \right)}} \right){{\left( x \right)}^{p-q}}$

$\displaystyle T=C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{3}^{2\left( 10-p \right)}}{{x}^{2\left( 10-p \right)}}{{x}^{p-q}}$

$\displaystyle T=C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{3}^{2\left( 10-p \right)}}{{x}^{2\left( 10-p \right)+p-q}}$

Yêu cầu bài toán tương ứng: $2\left( 10-p \right)+p-q=4$

Hay $p+q=16$

Do $0\le q\le p\le 10$ nên ta chọn được các bộ $\left( p;q \right)\in \left\{ \left( 8;8 \right),\left( 9;7 \right),\left( 10;6 \right) \right\}$

Khi đó hệ số của ${{x}^{4}}$ trong khai triển trên là

$\displaystyle C_{10}^{8}C_{8}^{8}{{3}^{2\left( 10-8 \right)}}+C_{10}^{9}C_{9}^{7}{{3}^{2\left( 10-9 \right)}}+C_{10}^{10}C_{10}^{6}{{3}^{2\left( 10-10 \right)}}=1695$

Ví dụ Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{16}}$ trong khai triển ${{\left( 1+{{x}^{3}}\left( 2+x \right) \right)}^{10}}$

Giải

$\displaystyle {{\left( 1+{{x}^{3}}\left( 2+x \right) \right)}^{10}}={{\sum\limits_{p=0}^{10}{C_{10}^{p}{{1}^{10-p}}\left( {{x}^{3}}\left( 2+x \right) \right)}}^{p}}$

$\displaystyle =\sum\limits_{p=0}^{10}{C_{10}^{p}{{x}^{3p}}{{\left( 2+x \right)}^{p}}}=\sum\limits_{p=0}^{10}{C_{10}^{p}{{x}^{3p}}\sum\limits_{q=0}^{p}{C_{p}^{q}{{2}^{p-q}}{{x}^{q}}}}$

$\displaystyle =\sum\limits_{p=0}^{10}{\sum\limits_{q=0}^{p}{C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{2}^{p-q}}{{x}^{3p}}{{x}^{q}}}}=\sum\limits_{p=0}^{10}{\sum\limits_{q=0}^{p}{C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{2}^{p-q}}{{x}^{3p+q}}}}$

YCBT$\Leftrightarrow 3p+q=16$ với $0\le q\le p\le 10$

Suy ra $\left( p;q \right)\in \left\{ \left( 5;1 \right);\left( 4;4 \right) \right\}$

Suy ra hệ số cần tìm là: $C_{10}^{5}C_{5}^{1}{{2}^{5-1}}+C_{10}^{4}C_{4}^{4}{{2}^{4-4}}=20370$

---

THÊM PHIẾU BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM