ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN - LỜI GIẢI CHI TIẾT

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

1. Định Nghĩa & Điều Kiện

Định nghĩa: Đường thẳng $d$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$.

Kí hiệu: $d \perp (P)$.

Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$ thì $d \perp (P)$.

$$ \begin{cases} d \perp a \\ d \perp b \\ a \cap b = O \\ a, b \subset (P) \end{cases} \Rightarrow d \perp (P) $$

2. Tính Chất

Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

3. Liên Hệ Giữa Quan Hệ Song Song & Vuông Góc

• Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
• Cho hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
• Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
• Cho hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

4. Phép Chiếu Vuông Góc

Cho mặt phẳng $(P)$. Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $l$ vuông góc với $(P)$ gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(P)$.

Định lý ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $b$ không thuộc $(P)$ và không vuông góc với $(P)$. Gọi $b'$ là hình chiếu vuông góc của $b$ trên $(P)$. Khi đó:

$$ a \perp b \Leftrightarrow a \perp b' $$

5. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh rằng:

a) $BC \perp (SAB)$.

b) $BD \perp (SAC)$.

Lời giải:

a) Ta có $BC \perp AB$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Mà $SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp BC$.

Ta có $\begin{cases} BC \perp AB \\ BC \perp SA \\ AB \cap SA = A \\ AB, SA \subset (SAB) \end{cases} \Rightarrow BC \perp (SAB)$.

---

b) Ta có $BD \perp AC$ (hai đường chéo hình vuông).

Mà $SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp BD$.

Ta có $\begin{cases} BD \perp AC \\ BD \perp SA \\ AC \cap SA = A \\ AC, SA \subset (SAC) \end{cases} \Rightarrow BD \perp (SAC)$.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $SABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $SA \perp (ABC)$.

a) Chứng minh $BC \perp (SAB)$.

b) Gọi $AH$ là đường cao của $\Delta SAB$. Chứng minh $AH \perp SC$.

Lời giải:

a) Ta có $BC \perp AB$ (giả thiết).

Và $SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC$.

Suy ra $BC \perp (SAB)$ (vì $AB, SA$ cắt nhau trong $(SAB)$).

---

b) Ta có $AH \perp SB$ (giả thiết).

Theo câu a, $BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AH$ (vì $AH \subset (SAB)$).

Ta có $\begin{cases} AH \perp SB \\ AH \perp BC \\ SB \cap BC = B \end{cases} \Rightarrow AH \perp (SBC)$.

Mà $SC \subset (SBC) \Rightarrow AH \perp SC$.

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$. Biết $SA=SC, SB=SD$. Chứng minh $SO \perp (ABCD)$.

Lời giải:

Xét $\Delta SAC$ có $SA=SC \Rightarrow \Delta SAC$ cân tại $S$.

$O$ là trung điểm $AC$ (tính chất hình thoi) $\Rightarrow SO \perp AC$. (1)

Tương tự, xét $\Delta SBD$ có $SB=SD \Rightarrow \Delta SBD$ cân tại $S$.

$O$ là trung điểm $BD \Rightarrow SO \perp BD$. (2)

Từ (1) và (2), ta có $\begin{cases} SO \perp AC \\ SO \perp BD \\ AC \cap BD = O \end{cases} \Rightarrow SO \perp (ABCD)$.

6. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Gọi $AE, AF$ lần lượt là đường cao của $\Delta SAB$ và $\Delta SAD$. Chứng minh $SC \perp (AEF)$.

Lời giải:

Ta có $BC \perp AB$ và $BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AE$.

Mà $AE \perp SB \Rightarrow AE \perp (SBC) \Rightarrow AE \perp SC$. (1)

Tương tự, $CD \perp AD$ và $CD \perp SA \Rightarrow CD \perp (SAD) \Rightarrow CD \perp AF$.

Mà $AF \perp SD \Rightarrow AF \perp (SCD) \Rightarrow AF \perp SC$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $SC \perp (AEF)$.

---

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$. Chứng minh $AB' \perp BC'$.

Lời giải:

Để chứng minh hai đường chéo chéo nhau vuông góc, ta có thể chứng minh đường này vuông góc với mặt phẳng chứa đường kia, hoặc dùng tích vô hướng.

Ở đây đề bài có thể có vấn đề hoặc cần thêm dữ kiện về hình lăng trụ (ví dụ lăng trụ đều hoặc các cạnh bên bằng cạnh đáy...). Tuy nhiên, nếu xét quan hệ vuông góc đường - mặt:

Ta có $BC \perp AB$ (gt) và $BC \perp BB'$ (lăng trụ đứng) $\Rightarrow BC \perp (ABB'A')$.

$\Rightarrow BC \perp AB'$.

Nhưng để $AB' \perp BC'$ thì $AB' \perp (BCC'B')$, điều này chỉ xảy ra khi $AB' \perp BB'$ (vô lý) hoặc hình đặc biệt.

(Lưu ý: Có thể đề bài yêu cầu chứng minh $BC \perp (ABB'A')$ từ đó suy ra $BC \perp AB'$. Nếu đề là chứng minh $AB \perp B'C$ thì: $AB \perp BC, AB \perp BB' \Rightarrow AB \perp (BCC'B') \Rightarrow AB \perp B'C$).

---

Bài 3: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác đều. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$, $K$ là trực tâm tam giác $SBC$. Chứng minh $HK \perp (SBC)$.

Lời giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Ta có $BC \perp AM$ và $BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAM) \Rightarrow BC \perp SM$.

Vì $K$ là trực tâm $\Delta SBC$ nên $K$ nằm trên đường cao $SM$ và $BK \perp SC$.

Ta cần chứng minh $SC \perp (BHK)$.

Có $BK \perp SC$. Ta sẽ chứng minh $BH \perp SC$.

Thật vậy, $BH \perp AC$ (H là trực tâm) và $BH \perp SA \Rightarrow BH \perp (SAC) \Rightarrow BH \perp SC$.

Vậy $SC \perp (BHK) \Rightarrow SC \perp HK$. (1)

Tương tự chứng minh $SB \perp HK$. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow HK \perp (SBC)$.

---

Bài 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, mặt bên $(SAB)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, AD$. Chứng minh $HK \perp SD$.

Lời giải:

Gọi $SH$ là đường cao của $\Delta SAB$. Vì $(SAB) \perp (ABCD)$ theo giao tuyến $AB$ và $\Delta SAB$ đều nên $SH \perp AB \Rightarrow SH \perp (ABCD)$.

Ta có $HK$ là đường trung bình $\Delta ABD \Rightarrow HK // BD$.

Mặt khác $AC \perp BD \Rightarrow AC \perp HK$.

Ta cần chứng minh $SD \perp HK$. Điều này tương đương $SD \perp BD$?

Thực tế bài toán này thường yêu cầu chứng minh $AC \perp SD$ hoặc $HK \perp SC$ (nếu K là trung điểm BC...).

Nếu đề là chứng minh $AC \perp SD$: Ta có $AC \perp BD, AC \perp SH \Rightarrow AC \perp (SBD) \Rightarrow AC \perp SD$.

---

Bài 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$, $SA \perp (ABCD)$. Gọi $\alpha$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SC$. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi $(\alpha)$.

Lời giải:

1. Dựng đường cao $AH$ trong $\Delta SAC$ ($H \in SC$).

2. Ta có $BD \perp AC$ và $BD \perp SA \Rightarrow BD \perp (SAC) \Rightarrow BD \perp SC$.

3. Trong $(SBD)$, kẻ đường thẳng qua $I = SO \cap AH$ vuông góc với $SC$ (thực ra đường này song song với $BD$ vì $BD \perp SC$).

Tuy nhiên, mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A$ và $\perp SC$.

Ta có $BD \perp SC$. Vậy $(\alpha)$ chứa đường thẳng qua $A$ song song với $BD$? Không hẳn.

Cách dựng đúng: $BD \perp (SAC) \Rightarrow BD \perp AH$ (không đúng, $AH \subset (SAC)$). Thực ra $BD \perp SC$.

Ta có $(\alpha)$ chứa $AH$ ($AH \perp SC$).

Ta có $BD \perp SC$. Gọi $K = SO \cap AH$. Qua $K$ kẻ $MN // BD$ ($M \in SB, N \in SD$).

Khi đó $MN \perp SC$. Vậy $SC \perp (AMHN)$.

Thiết diện là tứ giác $AMHN$ có hai đường chéo $AH \perp MN$.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ