Các dạng bài tập phương trình đạo hàm riêng [Phương trình Parabolic]

Phương trình parabolic.

Dạng: Bài toán hỗn hợp hợp đối với phương trình truyền nhiệt thuần nhất có điều kiện biên bằng không.

$\displaystyle \begin{cases}u_t=a^2u_{xx}\\u(x,0)=\varphi(x)\\u(0,t)=u(l,t)=0\end{cases}$

Công thức nghiệm:

$\displaystyle u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}A_ke^{-\left(\frac{ak\pi}{l}\right)^2t}\sin\frac{k\pi}{l}x$

trong đó

$\displaystyle A_k=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x)\sin\frac{k\pi}{l}xdx$

Ví dụ:

$\displaystyle \begin{cases}u_t=u_{xx}\\u(x,0)=\sin 3x\\u(0,t)=u(\pi,t)=0\end{cases}$

Giải.

Đây là bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền nhiệt thuần nhất có điều kiện biên bằng $0$ với: $a=1, \varphi(x)=\sin 3x, l=\pi$

Công thức nghiệm:

$\displaystyle u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}A_ke^{-\left(\frac{ak\pi}{l}\right)^2t}\sin\frac{k\pi}{l}x$

trong đó

$\displaystyle A_k=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x)\sin\frac{k\pi}{l}xdx$

Thay vào công thức $A_k$

$\displaystyle A_k=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin 3x \sin kx dx$

$\displaystyle A_k=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}[\cos (3-k)x-\cos  (3+k)x]dx$

$\displaystyle A_k=\begin{cases}0 \quad \text{nếu} \quad k\ne 3\\1\quad \text{nếu}\quad k=3\end{cases}$

Thay vào công thức nghiệm ta được:

$u(x,t)=e^{-9t}\sin 3x$

Dưới đây là một số bài tập tương tự.

Bài tập 1:

$\displaystyle \begin{cases}u_t=u_{xx}\\u(x,0)=\sin x\\u(0,t)=u(2\pi,t)=0\end{cases}$

Bài tập 2:

$\displaystyle \begin{cases}u_t=u_{xx}\\u(x,0)=\sin x\\u(0,t)=u(\pi,t)=0\end{cases}$

Bài tập 3:

$\displaystyle \begin{cases}u_t=u_{xx}\\u(x,0)=2\sin 4x\\u(0,t)=u(\pi,t)=0\end{cases}$

Bài tập 4:

$\displaystyle \begin{cases}u_t=u_{xx}\\u(x,0)=\sin \alpha x\\u(0,t)=u(\pi,t)=0\end{cases}\quad \alpha\ne0$