Các dạng bài tập phương trình đạo hàm riêng [Phương trình Parabolic]

Phương trình parabolic

Dạng: Bài toán hỗn hợp hợp đối với phương trình truyền nhiệt thuần nhất có điều kiện biên bằng không.

$${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_t=a^2{u}_{xx}\\ u(x,0)=\phi (x)\\ u(0,t)=u(l,t)=0\end{array}}$$

Công thức nghiệm:

$${\displaystyle u(x,t)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{e}^{-{\left(\frac{ak\pi }{l}\right)}^{2}t}\sin \frac{k\pi }{l}x}$$

trong đó

$${\displaystyle A_k=\frac{2}{l}{\int }_0^l\phi (x)\sin \frac{k\pi }{l}xdx}$$

Ví dụ

$${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_t=u_{xx}\\ u(x,0)=\sin 3x\\ u(0,t)=u(\pi ,t)=0\end{array}}$$

Lời giải

Đây là bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền nhiệt thuần nhất có điều kiện biên bằng $0$ với: $a=1,\phi (x)=\sin 3x,l=\pi$

Công thức nghiệm:

$${\displaystyle u(x,t)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k{e}^{-{\left(\frac{ak\pi }{l}\right)}^{2}t}\sin \frac{k\pi }{l}x}$$

trong đó

$${\displaystyle A_k=\frac{2}{l}{\int }_0^l\phi (x)\sin \frac{k\pi }{l}xdx}$$

Thay vào công thức $A_k$

${\displaystyle A_k=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin 3x\sin kxdx}$

${\displaystyle A_k=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }[\cos (3-k)x-\cos (3+k)x]dx}$

${\displaystyle A_k=\{\begin{array}{l}0\text{nếu}k\ne 3\\ 1\text{nếu}k=3\end{array}}$

Thay vào công thức nghiệm ta được:

$u(x,t)=e^{-9t}\sin 3x$

Dưới đây là một số bài tập tương tự.

Bài tập 1

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_t=u_{xx}\\ u(x,0)=\sin x\\ u(0,t)=u(2\pi ,t)=0\end{array}}$

Bài tập 2

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_t=u_{xx}\\ u(x,0)=\sin x\\ u(0,t)=u(\pi ,t)=0\end{array}}$

Bài tập 3

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_t=u_{xx}\\ u(x,0)=2\sin 4x\\ u(0,t)=u(\pi ,t)=0\end{array}}$

Bài tập 4

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_t=u_{xx}\\ u(x,0)=\sin \alpha x\\ u(0,t)=u(\pi ,t)=0\end{array}\alpha \ne 0}$