Các dạng bài tập phương trình đạo hàm riêng [Phương trình Hyperbolic]

Phương trình Hyperbolic.

Dạng bài toán: Bài toán Cauchy đối với phương trình dao động của dây có cưỡng bức.

$\begin{cases}u_{tt}=a^2u_{xx}+f(x,t)\\u(x,0)=\varphi_1(x)\\u_t(x,0)=\varphi_2(x)\end{cases}$

Công thức nghiệm:

$\displaystyle \begin{aligned}u(x,t)=&\frac{\varphi_1(x-at)+\varphi_2(x+at)}{2}\\&+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\varphi_2(z)dz\\&+\frac{1}{2a^2}\int_0^{at}\left(\int_{x-\tau}^{x+\tau}f\left(s,t-\frac{\tau}{a}\right)ds\right)d\tau\end{aligned}$

Ví dụ:

$\begin{cases}u_{tt}=u_{xx}-\cos x+3t\\u(x,0)=\cos x\\u_t(x,0)=x\end{cases}$

Bài tập 1:

$\begin{cases}u_{tt}=u_{xx}+2x+3t\\u(x,0)=\cos x\\u_t(x,0)=e^x\end{cases}$

Bài tập 2:

$\begin{cases}u_{tt}=u_{xx}+6xt\\u(x,0)=\sin 2x\\u_t(x,0)=x\end{cases}$

Bài tập 3:

$\begin{cases}u_{tt}=u_{xx}+2x\\u(x,0)=\cos x\\u_t(x,0)=e^x\end{cases}$

Bài tập 4:

$\begin{cases}u_{tt}=u_{xx}+6\\u(x,0)=x^2\\u_t(x,0)=4x\end{cases}$

Bài tập 5:

$\begin{cases}u_{tt}=u_{xx}+e^x\\u(x,0)=\sin x\\u_t(x,0)=x+\cos x\end{cases}$

Bài tập 6:

$\begin{cases}u_{tt}=4u_{xx}+\frac{xt}{8}\\u(x,0)=x^2\\u_t(x,0)=2x\end{cases}$

Bài tập 7:

$\begin{cases}u_{tt}=9u_{xx}+3\sin x\\u(x,0)=\sin x\\u_t(x,0)=x\end{cases}$

Bài tập 8:

$\begin{cases}u_{tt}=4u_{xx}=xt\\u(x,0)=2x^2\\u_t(x,0)=x\end{cases}$

Bài tập 9:

$\begin{cases}u_{tt}=2u_{xx}+2e^x\\u(x,0)=\cos x\\u_t(x,0)=x+\cos x\end{cases}$

Dạng bài toán: Bài toán hỗn hợp đối với phương trình dao động của dây thuần nhất có điều kiện biên bằng $0$.

$\begin{cases}u_{tt}=a^2u_{xx}\\u(x,0)=\varphi_1(x)\\u_t(x,0)=\varphi_2(x)\\u(o,t)=u(l,t)=0\end{cases}$

Công thức nghiệm:

$\displaystyle u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(A_k\cos\frac{ak\pi}{l}t+B_k\sin\frac{ak\pi}{l}t\right)\sin\frac{k\pi}{l}x$

trong đó

$\displaystyle A_k=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi_1(x)\sin\frac{k\pi}{l}xdx$

$\displaystyle B_k=\frac{2}{ak\pi}\int_0^l\varphi_2(x)\sin\frac{k\pi}{l}xdx$

Ví dụ:

$\begin{cases}u_{tt}=u_{xx}\\u(x,0)=\sin x\\u_t(x,0)=0\\u(0,t)=u(2\pi,t)=0\end{cases}$

Bài tập 1:

$\begin{cases}u_{tt}=u_{xx}\\u(x,0)=\sin^3 x\\u_t(x,0)=3\sin x+4\sin 2x\\u(0,t)=u(\pi,t)=0\end{cases}$

Bài tập 2:

$\begin{cases}u_{tt}=u_{xx}\\u(x,0)=\sin x\\u_t(x,0)=-2\sin x+8\sin 2x\\u(0,t)=u(\pi,t)=0\end{cases}$

Bài tập 3:

$\begin{cases}u_{tt}=u_{xx}\\u(x,0)=\sin x\\u_t(x,0)=\sin 2x\\u(0,t)=u(\pi,t)=0\end{cases}$

Bài tập 4:

$\begin{cases}u_{tt}=3u_{xx}\\u(x,0)=x^2-x\\u_t(x,0)=0\\u(0,t)=u(1,t)=0\end{cases}$