CÁC DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG [PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC]

Phương trình Hyperbolic

Dạng bài toán: Bài toán Cauchy đối với phương trình dao động của dây có cưỡng bức.

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=a^2{u}_{xx}+f(x,t)\\ u(x,0)={\phi }_1(x)\\ u_t(x,0)={\phi }_2(x)\end{array}$$

Công thức nghiệm:

$${\displaystyle \begin{array}{rl}u(x,t)=& \frac{{\phi }_1(x-at)+{\phi }_2(x+at)}{2}\\ & +\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x+at}{\phi }_2(z)dz\\ & +\frac{1}{2a^2}{\int }_0^{at}\left({\int }_{x-\tau }^{x+\tau }f(s,t-\frac{\tau }{a})ds\right)d\tau \end{array}}$$

Ví dụ

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=u_{xx}-\cos x+3t\\ u(x,0)=\cos x\\ u_t(x,0)=x\end{array}$$

Bài tập 1

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=u_{xx}+2x+3t\\ u(x,0)=\cos x\\ u_t(x,0)=e^x\end{array}$$

Bài tập 2

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=u_{xx}+6xt\\ u(x,0)=\sin 2x\\ u_t(x,0)=x\end{array}$$

Bài tập 3

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=u_{xx}+2x\\ u(x,0)=\cos x\\ u_t(x,0)=e^x\end{array}$$

Bài tập 4

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=u_{xx}+6\\ u(x,0)=x^2\\ u_t(x,0)=4x\end{array}$$

Bài tập 5

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=u_{xx}+e^x\\ u(x,0)=\sin x\\ u_t(x,0)=x+\cos x\end{array}$$

Bài tập 6

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=4u_{xx}+\frac{xt}{8}\\ u(x,0)=x^2\\ u_t(x,0)=2x\end{array}$$

Bài tập 7

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=9u_{xx}+3\sin x\\ u(x,0)=\sin x\\ u_t(x,0)=x\end{array}$$

Bài tập 8

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=4u_{xx}=xt\\ u(x,0)=2x^2\\ u_t(x,0)=x\end{array}$$

Bài tập 9

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=2u_{xx}+2e^x\\ u(x,0)=\cos x\\ u_t(x,0)=x+\cos x\end{array}$$

Dạng bài toán: Bài toán hỗn hợp đối với phương trình dao động của dây thuần nhất có điều kiện biên bằng $0$.

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=a^2{u}_{xx}\\ u(x,0)={\phi }_1(x)\\ u_t(x,0)={\phi }_2(x)\\ u(o,t)=u(l,t)=0\end{array}$$

Công thức nghiệm:

$${\displaystyle u(x,t)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(A_k\cos \frac{ak\pi }{l}t+B_k\sin \frac{ak\pi }{l}t)\sin \frac{k\pi }{l}x}$$

trong đó

$${\displaystyle A_k=\frac{2}{l}{\int }_0^l{\phi }_1(x)\sin \frac{k\pi }{l}xdx}$$

$${\displaystyle B_k=\frac{2}{ak\pi }{\int }_0^l{\phi }_2(x)\sin \frac{k\pi }{l}xdx}$$

Ví dụ

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=u_{xx}\\ u(x,0)=\sin x\\ u_t(x,0)=0\\ u(0,t)=u(2\pi ,t)=0\end{array}$$

Bài tập 1

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=u_{xx}\\ u(x,0)={\sin }^{3}x\\ u_t(x,0)=3\sin x+4\sin 2x\\ u(0,t)=u(\pi ,t)=0\end{array}$$

Bài tập 2

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=u_{xx}\\ u(x,0)=\sin x\\ u_t(x,0)=-2\sin x+8\sin 2x\\ u(0,t)=u(\pi ,t)=0\end{array}$$

Bài tập 3

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=u_{xx}\\ u(x,0)=\sin x\\ u_t(x,0)=\sin 2x\\ u(0,t)=u(\pi ,t)=0\end{array}$$

Bài tập 4

$$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}=3u_{xx}\\ u(x,0)=x^2-x\\ u_t(x,0)=0\\ u(0,t)=u(1,t)=0\end{array}$$