Phương trình bậc ba

DANH MỤC

Lịch sử phương trình bậc ba
Một số phương pháp giải
       Phân tích nhân tử
       Phương pháp Cardano
       Phương pháp sử dụng số phức
       Phương pháp của Viet
       Phương pháp lượng giác hóa

---

Lịch sử phương trình bậc ba

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai thì đơn giản dễ hiểu, được trình bày tỉ mỉ trong sách giáo khoa Toán lớp 9, tuy nhiên, để đưa ra một công thức nghiệm tổng quát cho phương trình bậc ba là cả một vấn đề. Nếu muốn giải quyết trọn vẹn phương trình bậc ba thì phải chạm vào một số kiến thức như số phức, các hàm lượng giác chứ không đơn thuần bằng phép biến đổi như phương trong phương trình bậc hai. Điều này được thể hiện qua lịch sử đi tìm lời giải cho phương trình bậc ba cực kỳ hấp dẫn. Các bạn có tìm đọc thêm "Lịch sử đi tìm lời giải cho phương trình bậc ba". Bài viết này Caolac trình bày lại một số phương pháp giải phương trình bậc ba mà các bậc tiền bối đi trước mài công suy nghĩ giải quyết. OK Let's go!

---

Một số phương pháp giải

Phân tích nhân tử

Đây là phương pháp giải cho một số lớp phương trình bậc ba đặc biệt, ở đó các nghiệm của phương trình bậc ba này được dự đoán trước (thường là các số nguyên nhỏ). Từ đó có thể dễ dàng phân tích thành nhân tử nhờ sử dụng lược đồ Horner. Phương pháp này thường áp dụng cho các kỳ thi phổ thông vì tính đơn giản của nó. Tuy nhiên về mặt ý nghĩa lý thuyết thì nó gần như không có vai trò quan trọng.

Cho phương trình bậc ba: $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0(\ast )$.

Nếu $x=x_0$ là một nghiệm của phương trình $(\ast )$ thì ta có thể phân tích $(\ast )$ thành dạng:

$(x-x_0)(a{x}^2+px+q)=0$

Với $p=b+a{x}_0,q=c+b{x}_0+a{x}_0^2$.

Tới đây thì mọi việc đã sáng tỏ, bài toán giải phương trình bậc ba đã quy về hai bài toán giải phương trình bậc hai và bậc nhất.

---

Phương pháp Cardano

Cho phương trình bậc ba tổng quát: $a^{\prime }{x}^3+b^{\prime }{x}^2+c^{\prime }x+d^{\prime }=0(a^{\prime }\ne 0)(\ast )$.

Bằng cách chia cho $a^{\prime }\ne 0$ ta đưa được về dạng:

$x^3+a{x}^2+bx+c=0(2.1)$.

Với $a={\displaystyle \frac{b^{\prime }}{a^{\prime }}};b={\displaystyle \frac{c^{\prime }}{a^{\prime }}};c={\displaystyle \frac{d^{\prime }}{a^{\prime }}}$

Ý tưởng giải phương trình bậc hai tổng quát là đưa phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ về dạng phương trình bậc hai $x^2=a^2$ mà ta đã có lời giải bằng cách khử đi phần tử chứa $x$. Để làm điều này người ta sử dụng biến đổi hằng đẳng thức như trong sách giáo khoa lớp 9 hoặc có thể đặt $x=y-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$.

Đối với phương trình bậc ba cũng tương tự, để giải phương trình bậc ba người ta đã đưa về dạng khuyết phần tử chứa $x^2$ bằng cách đặt $x=y-{\displaystyle \frac{a}{3}}$. Khi đó thay vào $(2.1)$ ta sẽ được phương trình bậc ba suy biến:

$y^3+py+q=0(2.2)$

Với $p=-{\displaystyle \frac{a^2}{3}}+b;q={\displaystyle \frac{2a^3-9ab+27c}{27}}$

Hay nói các khác mọi dạng phương trình bậc ba tổng quát ban đầu $(\ast )$ đều có thể đưa được về dạng $(2.2)$.

Từ đây nếu $(2.2)$ được giải quyết thì $(\ast )$ cũng được giải quyết. Và Cardano đã đưa ra phương pháp tìm nghiệm cho phương trình $(2.2)$ (Thực ra là Tartaglia đưa ra lời giải nhưng Cardano lại là người công bố. Các bạn có thể đọc thêm "Lịch sử giải phương trình bậc ba")

Ta xét phương trình $(2.2)$ trong trường hợp $p\ne 0,q\ne 0$. Vì trong trường hợp $p=0,q=0$ thì quá đơn giản.

Để tìm nghiệm của phương trình này Cardano đã làm như sau:

Đặt $y=u+v$. Thay vào $(2.2)$ ta được:

$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0(2.3)$

Để đẳng thức $(3)$ xảy ra ta cho $u^3+v^3+q=0$ và $3uv+p=0$.

Tức là tìm $u,v$ thỏa: $\{\begin{array}{l}{u}^3+v^3=-q\\ uv=-{\displaystyle \frac{p}{3}}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}^3+v^3=-q\\ u^3{v}^3=-{\displaystyle \frac{p^3}{27}}\end{array}(2.4)$

Hay $u^3,v^3$ là nghiệm của phương trình bậc hai: (Theo Viet đảo)

$X^2+qX-{\displaystyle \frac{p^3}{27}}=0(2.5)$

Có $\mathrm{\Delta }=q^2+{\displaystyle \frac{4p^3}{27}}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }\ge 0$ thì:

$u^3={\displaystyle \frac{-q+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2}}={\displaystyle \frac{-q+\sqrt{q^2+{\displaystyle \frac{4p^3}{27}}}}{2}}=-{\displaystyle \frac{q}{2}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{q^2}{4}}+{\displaystyle \frac{p^3}{27}}}$

$v^3={\displaystyle \frac{-q-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2}}={\displaystyle \frac{-q-\sqrt{q^2+{\displaystyle \frac{4p^3}{27}}}}{2}}=-{\displaystyle \frac{q}{2}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{q^2}{4}}+{\displaystyle \frac{p^3}{27}}}$

Khi đó phương trình $(2.2)$ có nghiệm:

$y=u+v=\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{q}{2}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{q^2}{4}}+{\displaystyle \frac{p^3}{27}}}}+\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{q}{2}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{q^2}{4}}+{\displaystyle \frac{p^3}{27}}}}$

Đây chính là công thức nghiệm phương trình bậc ba của Cardano trong trường hợp $\mathrm{\Delta }\ge 0$.

Trong trường hợp $\mathrm{\Delta }\le 0$ thì Cardano đã không giải quyết được vì thời bấy giờ ông chưa biết đến khái niệm số phức.

---

Phương pháp sử dụng số phức

Để giải quyết trọn vẹn phương trình bậc ba theo hướng mà Cardano đưa ra thì ta phải sử dụng đến số phức.

+) Nếu $\mathrm{\Delta }\ge 0$ thì khi đó $u^3,v^3$ có ba căn bậc ba:

$\{\begin{array}{l}{u}_1=\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{q}{2}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{q^2}{4}}+{\displaystyle \frac{p^3}{27}}}}=A\\ u_2=A(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\\ u_3=A(-{\displaystyle \frac{1}{2}}-i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_1=\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{q}{2}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{q^2}{4}}+{\displaystyle \frac{p^3}{27}}}}=B\\ v_2=B(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\\ v_3=B(-{\displaystyle \frac{1}{2}}-i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\end{array}$

Ta chọn các cặp $u,v$ thỏa mãn hệ phương trình $(2.4)$. Khi đó các cặp thỏa mãn là: $(u_1,v_1),(u_2,v_3),(u_3,v_2)$

Ta có 3 nghiệm tương ứng với phương trình $(2.2)$

$\{\begin{array}{l}{y}_1=u_1+v_1\\ y_2=u_2+v_3=u_1(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})+v_1(-{\displaystyle \frac{1}{2}}-i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\\ y_3=u_3+v_2=u_1(-{\displaystyle \frac{1}{2}}-i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})+v_1(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\end{array}$

Hay

$\{\begin{array}{l}{y}_1=u_1+v_1\\ y_2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(u_1+v_1)+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(u_1-v_1)\\ y_3=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(u_1+v_1)-i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(u_1-v_1)\end{array}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }\le 0$ thì:

$\{\begin{array}{l}{u}^3=-{\displaystyle \frac{q}{2}}+i\sqrt{-{\displaystyle \frac{q^2}{4}}-{\displaystyle \frac{p^3}{27}}}\\ v^3=-{\displaystyle \frac{q}{2}}-i\sqrt{-{\displaystyle \frac{q^2}{4}}-{\displaystyle \frac{p^3}{27}}}\end{array}$

Khi đó khai căn bậc ba của số phức và đưa ra nghiệm cũng giống như trường hợp $\mathrm{\Delta }\ge 0$. Về mặt ý nghĩa lý thuyết thì ta đã giải quyết được phương trình bậc ba tổng quát bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, khai căn. Tuy nhiên về mặt thực tế thì việc tính 3 căn bậc ba của số phức $u^3,v^3$ như trên là vô cùng khó khăn và phức tạp.

---

Phương pháp của Viet

Trong luận văn của Viet có trình bày một cách giải rất hay cho phương trình bậc ba tổng quát.

Như phân tích ở trên thì mọi phương trình bậc ba đều có thể đưa về phương trình bậc 3 dạng suy biến: $$x^3+px+q=0(3.1)$$

Đặt $x=y-{\displaystyle \frac{p}{3y}}$ (Gọi là phép thế của Viet). Thay vào $(3.1)$ sẽ dẫn đến phương trình

$y^6+q{y}^3-{\displaystyle \frac{p^3}{27}}=0(3.2)$

Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn $y^3$. Do đó luôn giải được trên $\mathbb{C}$. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình $(3.1)$

Phương pháp này sẽ không thực hiện được khi hai nghiệm của phương trình $(3.2)$ là 0.

Về mặt công thức thì cách tiếp cân của Viet cũng cho ra kết quả tương tự như Cardano (nếu đặt $X=y^3$ thì phương trình $(3.2)$ sẽ có dạng $(2.5)$).

Dĩ nhiên là cách tiếp cận của Viet độc đáo hơn và dễ hình dung hơn.

---

Phương pháp lượng giác hóa

Updating...