Giải gần đúng phương trình vi phân thường [Phương pháp chuỗi nguyên]

PHƯƠNG PHÁP CHUỖI NGUYÊN

Ta đã biết phương pháp xấp xỉ Picard để giải gần đúng phương trình vi phân thường. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp khác để giải gần đúng phương trình vi phân thường đó là phương pháp chuỗi nguyên.

Dạng bài toán

$\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}$

Công thức nghiệm xấp xỉ:

$\begin{aligned}\displaystyle y(x)&=y(x_0)+\frac{y'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{y''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots\\&+ \frac{y^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots\end{aligned}$

Nghĩa là ta sẽ đi tìm các $y(x_0), y'(x_0), y''(x_0),\ldots, y^{(n)}(x_0),\ldots$ và thay vào công thức trên.

Cách tìm cụ thể như thế nào thì thông qua một ví dụ ta sẽ nắm được ngay và liền kakaka...

Một số ví dụ phương pháp chuỗi nguyên

Ví dụ 1. Giải gần đúng phương trình vi phân thường sau

$$\begin{cases}y'=x-y\\y(0)=1\end{cases}$$

Giải.

$x_0=0, y(0)=1, f(x,y)=x-y$

Ta sẽ tìm các $y(0), y'(0), y''(0),\ldots$ nhưng thông thường trong các bài kiểm tra ta chỉ cần tính khoảng đến $y^{(5)}(0)$ hay $y^{(6)}(0)$ là cùng.

$y(0)=1$

$y'=x-y\Rightarrow y'(0)=0-y(0)=0-1=-1$

$y''=1-y'$ (là đạo hàm của $y'$ ở trên, lưu ý xem $y$ như một hàm theo biến $x$ và đạo hàm bình thường)

$\Rightarrow y''(0)=1-y'(0)=1-(-1)=2$

$y'''=-y''\Rightarrow y'''(0)=-y''(0)=-2$

$y^{(4)}=-y'''\Rightarrow y^{(4)}(0)=-y'''(0)=-(-2)=2$

$y^{(5)}=-y^{(4)}\Rightarrow y^{(5)}(0)=-y^{(4)}(0)=-2$

Tới đây ok rồi, ai muốn tính thêm nữa tùy, vì công việc là hoàn toàn tương tự. Giờ thì thay các giá trị vừa tính được vào công thức nghiệm xấp xỉ ở trên ta được:

$\displaystyle y=1-x+x^2-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{12}-\frac{x^5}{60}$

$\begin{cases}y'=x^2+y^2\\y(0)=0\end{cases}$

Một số bài tập phương pháp chuỗi nguyên

Bài tập 1. $\begin{cases}y'=x^2+y^2\\y(0)=0\end{cases}$

Bài tập 2. $\begin{cases}y'=x-4y\\y(0)=1\end{cases}$

Bài tập 3. $\begin{cases}y'=3x-2y\\y(0)=2\end{cases}$

Bài tập 4. $\begin{cases}y'=2x^2-y^2\\y(0)=1\end{cases}$

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIẢI TÍCH SỐ

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN THEO CÔNG THỨC HÌNH THANG

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN THEO CÔNG THỨC PARABOL (CÔNG THỨC SIMPSON)

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ PICARD

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI NGUYÊN