Tính gần đúng tích phân [Công thức Parabol (Simpson)]

Nối tiếp công thức hình thang tính gần đúng tích phân, bài viết này trình bày công thức Parabol hay công thức Simpson để tính gần đúng tích phân. Mục tiêu bài viết là nêu lên công thức, cách áp dụng và một số thủ thuật thao tác khi làm nhằm phục vụ cho môn học giải tích số (phương pháp tính) ở đại học. Các bạn có thể xem lại bài viết về Công thức hình thang

---

Công thức Simpson

Bài toán: Tính gần đúng tích phân:

$\displaystyle \int_a^bf(x)dx$

Công thức Parabol (Simpson)

$\displaystyle \int_a^bf(x)dx\approx\frac{h}{3}\left[f(a)+f(b)+4\sum_{i=0}^{n-1}f(x_{2i+1})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{2i})\right]$

trong đó

$\displaystyle h=\frac{b-a}{2n}$ với $2n$ là số đoạn được chia trên đoạn $[a,b]$

$\displaystyle x_0=a, x_n=b, x_i=x_0+ih, i=\overline{1,2n}$

Vấn đề sai số:

$\displaystyle \epsilon<\frac{M(b-a)}{180}\times h^4$

Trong đó $\displaystyle M=\max_{[a,b]}\big|f^{(4)}(x)\big|$

Ví dụ

Ví dụ: Tính gần đúng tích phân $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x+1}$ với $n=5$

Giải

Đối với công thức Parabol (Simpson) với $n=5$ thì ta chia đoạn $[a,b]$ thành $2n=10$ đoạn

$\displaystyle h=\frac{b-a}{2n}=\frac{1-0}{2\times 5}=\frac{1}{10}$

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}$

Bảng các giá trị $x_i$ và $f(x_i)$ (Việc làm này giúp cho việc áp dụng công thức được rõ ràng rành mạch và không bị sai)

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}x_i & x_0 & x_1 & x_2 &x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7  & x_8 & x_9 & x_{10}\\ \hline f(x) & 1 & \frac{10}{11} & \frac{5}{6} & \frac{10}{13} & \frac{5}{7} & \frac{2}{3} & \frac{5}{8} & \frac{10}{17} & \frac{5}{9} & \frac{10}{19} & \frac{1}{2}\end{array}$

Để có được bảng trên một cách nhanh chóng và chính xác, thay vì tính từng giá trị thì ta dùng chức năng TABLE trong máy tính cầm tay CASIO

Để tránh nhầm lẫn và rườm rà, ta sẽ tính từng thành phần của công thức:

+) Tính tổng giá trị hai đầu mút

$\displaystyle f(a)+f(b)=f(x_0)+f(x_{10})=1+\frac{1}{2}=1.5$

+) Đối với các $x_i$ mà $i$ lẻ, ta nhân tổng các $f(x_i)$ với $4$

$\displaystyle 4\sum_{i=0}^{4}f(x_{2i+1})=4[f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)+f(x_7)+f(x_9)]$

$\displaystyle \quad \quad\quad\quad\quad\quad \,  =4\left(\frac{10}{11}+\frac{10}{13}+\frac{2}{3}+\frac{10}{17}+\frac{10}{19}\right)\approx 13.83816$

+) Đối với các $x_i$ mà $i$ chẵn, ta nhân tổng các $f(x_i)$ với $2$

$\displaystyle 2\sum_{i=1}^{4}f(x_{2i})=2[f(x_2)+f(x_4)+f(x_6)+f(x_8)]$

$\displaystyle \quad \quad\quad\quad\quad \, \,=2\left(\frac{5}{6}+\frac{5}{7}+\frac{5}{8}+\frac{5}{9}\right)\approx 5.45635$

Cuối cùng ta suy ra

$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{x+1}\approx \frac{h}{3}[1.5+13.83816+5.45635]\approx 0.69315$

Bài tập rèn luyện

Bài tập 1. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x+1}$ với $n=5$

Bài tập 2. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_2^{3.5}\frac{1+x}{1-x}dx$ với $n=12$

Bài tập 3. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^{1}\frac{dx}{1+x^2}$ với $n=5$

Bài tập 4. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^{1}\frac{\sin x}{x}dx$ với $n=5$

Bài tập 5. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^{1}\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$ với $\epsilon=10^{-2}$

Bài tập 6. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_1^{2}\frac{dx}{1+x^2}$ với $\epsilon=0.02$

Bài tập 7. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_1^{3}\sqrt{1+3x}dx$ với $n=5$

Bài tập 8. Tính gần đúng tích phân sau: $\displaystyle \int_0^{2}\sqrt{1+x}dx$ với $n=5$

Hãy để lại cảm nhận và góp ý để bài viết có thể được tốt hơn nhé!

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIẢI TÍCH SỐ

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN THEO CÔNG THỨC HÌNH THANG

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN THEO CÔNG THỨC PARABOL (CÔNG THỨC SIMPSON)

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ PICARD

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI NGUYÊN