Giải gần đúng phương trình vi phân thường [Phương pháp xấp xỉ Picard]

---

Xem thêm "Phương pháp chuỗi nguyên"

Nhiều bài toán của khoa học, kỹ thuật và môi trường, ... dẫn đến việc giải bài toán phương trình vi phân thường, chính vì vậy, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng một vai trò quan trọng trong toán học.

Trong các phương trình vi phân thường, trừ một số nhỏ lớp phương trình vi phân đơn giản có thể tìm được nghiệm đúng như một số phương trình vi phân thường đã được học: phương trình vi phân tách biến, phương trình Bernoulli, phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, phương trình vi phân toàn phần..., còn lại nói chung không thể tìm được nghiệm một cách chính xác. Vì vậy người ta đã xây dựng các phương pháp để tìm nghiệm xấp xỉ của một phương trình vi phân thường. Có rất nhiều phương pháp, tuy nhiên tất cả các phương pháp được chia làm hai loại là phương pháp giải tích và phương pháp số.

Bài viết này mình sẽ trình bày công thức tính và cách tính gần đúng nghiệm của phương trình vi phân thường. Phương pháp dùng trong bài này đó là phương pháp xấp xỉ Picard. Ở phương diện học tập cho môn giải tích số thì mình cũng chỉ nắm được cách tính và có thể vận dụng được vào giải một số bài tập, như thế đã là quá tốt, còn việc công thức này ở đâu ra, được xây dựng như thế nào, dựa trên cơ sở lý thuyết nào thì các bạn hãy tự tìm hiểu thêm. Thực ra thì bản thân mình cũng chưa bỏ thời gian đọc để hiểu đủ rõ về vấn đề này chí ít là lúc đang viết bài này kakaka. OK Let's go!

Bài toán của chúng ta sẽ có dạng:

$$\begin{cases}y’=f(x,y)\\ y(x_0)=y_0\end{cases}$$

Để tìm gần đúng nghiệm của phương trình vi phân trên với điều kiện ban đầu, ta có công thức truy hồi sau:

$$\boxed{y_0=y(x_0)\\ y_{k+1}=y_0+\int_{x_0}^{x}f(s,y_k(s))ds}$$

Chỉ đơn giản thế thôi, giờ thì chỉ gắn vào như giải phương trình bậc hai. Để dễ hình dung hơn ta hãy cùng xem qua một vài ví dụ cụ thể, từ đó có thể giúp ta hình dung được cách làm dạng toán này.

Ví dụ 1. Giải gần đúng phương trình vi phân thường sau:

$$\begin{cases}y’=x-y\\ y(0)=1\end{cases}$$

Giải.

Trước tiên ta sẽ xác định các thông số cần thiết như $f(x,y), x_0,y_0$ để việc áp dụng công thức trở nên dễ dàng và không bị nhầm lẫn. Công việc này cũng giống như xác định hệ số $a,b,c$ trong giải phương trình bậc hai. Thực ra thì nó không quá cần thiết, tuy nhiên, đối với mình hay bị nhầm lẫn nên mình vẫn sẽ thêm vào.

$$f(x,y)=x-y, \quad x_0=0 \quad y_0=1$$

Áp dụng công thức truy hồi trên ta có:

$y_0=1$

$\displaystyle \begin{aligned}y_1&=y_0+\int_{x_0}^{x}f(s,y_0(s))ds\\&=1+\int_0^x(s-1)ds\\&=1-x+\dfrac{x^2}{2}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}y_2&=y_0+\int_{x_0}^xf(s,y_1(s))ds\\&=1+\int_0^x\left[s-\left(1-s-\dfrac{s^2}{2}\right)\right]ds\\&=1-x+x^2-\dfrac{x^3}{6}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}y_3&=y_0+\int_{x_0}^xf(s,y_2(s))ds\\&=1+\int_0^x\left[s-\left(1-s+s^2-\dfrac{s^3}{6}\right)\right]ds\\&=1-x+x^2-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{24}\end{aligned}$

Tiếp tục quá trình như thế cho $y_4,y_5,\ldots$

Càng tính nhiều thì $y_k$ của chúng ta sẽ càng gần với nghiệm đúng của phương trình. Tuy nhiên trong quá trình học và kiểm tra ta thường tính tới $y_3$ hay $y_4$ gì đấy. Mục tiêu của chúng ta không phải là tính nhiều mà là biết cách tính.

Bài tập rèn luyện

Bài tập 1. Giải gần đúng phương trình vi phân thường sau: $\begin{cases}y'=x^2+y^2\\y(0)=0\end{cases}$

Bài tập 2. Giải gần đúng phương trình vi phân thường sau: $\begin{cases}y'=x-4y\\y(0)=1\end{cases}$

Bài tập 3. Giải gần đúng phương trình vi phân thường sau: $\begin{cases}y'=3x-2y\\y(0)=2\end{cases}$

Bài tập 4. Giải gần đúng phương trình vi phân thường sau: $\begin{cases}y'=2x^2-y^2\\y(0)=1\end{cases}$

CÁC BÀI VIẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIẢI TÍCH SỐ

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN THEO CÔNG THỨC HÌNH THANG

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN THEO CÔNG THỨC PARABOL (CÔNG THỨC SIMPSON)

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ PICARD

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI NGUYÊN