XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com/

Xác suất có điều kiện

Định nghĩa và công thức

Định nghĩa

Cho hai biến cố $A,B$. Xác suất của biến cố $A$, tính trong điều kiện biết rằng biến cố $B$ đã xảy ra, được gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$ và kí kiệu là $P\left(A|B\right)$.

Công thức

Xác suất có điều kiện được tính theo công thức sau:

Cho hai biến cố $A,B$ bất kì, $P\left(B\right)>0$. Khi đó

$$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}$$

---

Một số ví dụ

Ví dụ 1

Một hộp có $20$ viên bi trắng và $10$ viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó.

Gọi $A$ là biến cố: “An lấy được viên bi trắng”; $B$ là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”.

a) Tính $P\left(A|B\right)$ bằng định nghĩa và bằng công thức.

b) Tính $P\left(A|\overline{B}\right)$ bằng định nghĩa và bằng công thức.

Lời giải

a) Theo định nghĩa.

$P\left(A|B\right)$ là xác suất “An lấy được bi trắng”, biết “Bình lấy được bi trắng”.

Bình lấy được bi trắng, khi đó trong hộp còn lại 29 viên, trong đó có 19 viên bi trắng.

Suy ra $P\left(A|B\right)=\frac{19}{29}$

Theo công thức

+) Không gian mẫu: Bình có 30 cách chọn bi, sau đó An có 29 cách chọn bi. Do đó $n\left(\mathrm{\Omega }\right)=30\cdot 29$

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}$

+) $AB$ :"Bình lấy được bi trắng, An cũng lấy được bi trắng" nên $n\left(AB\right)=20\cdot 19\Rightarrow P\left(AB\right)=\frac{20\cdot 19}{30\cdot 29}$

+) $B$ :"Bình lấy được bi trắng", khi đó An lấy bi gì cũng được, nên $n\left(B\right)=20\cdot 29\Rightarrow P\left(B\right)=\frac{20\cdot 29}{30\cdot 29}$

Khi đó: $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{20\cdot 19}{30\cdot 29}\times \frac{30\cdot 29}{20\cdot 29}=\frac{19}{29}$

Nhận xét

Ta cũng có thể sử dụng công thức $P\left(A|B\right)=\frac{n\left(AB\right)}{n\left(B\right)}$

Nhận xét

Nếu $A,B$ là hai biến cố độc lập thì

$$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\right)P\left(B\right)}{P\left(B\right)}=P\left(A\right)$$

$$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(BA\right)}{P\left(A\right)}=\frac{P\left(B\right)P\left(A\right)}{P\left(A\right)}=P\left(B\right)$$

Ví dụ 2

Một viện nghiên cứu về an toàn giao thông muốn tìm hiểu về mối quan hệ giữa thắt dây an toàn khi lái xe và nguy cơ tử vong của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Giả sử viện đã xem xét $577006$ vụ tai nạn giao thông ô tô và việc thắt dây an toàn của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Kết quả cho thấy:

+) Trong số những người lái xe có thắt dây an toàn, có $510$ người tử vong và $412368$ người sống sót;

+) Trong số những người lái xe không thắt dây an toàn, có $1061$ người tử vong và $162527$người sống sót

Kết quả được trình bày dưới dạng bảng gồm 2 dòng và 2 cột như dưới đây, gọi là bảng dữ liệu thống kê 2x2:

	Tử vong	Sống sót
Không	1601	162527
Có	510	412368

Chọn ngẫu nhiên một người lái xe trong số $577006$ người bị tai nạn giao thông.

a) Tính xác suất để người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông trong trường hợp không thắt dây an toàn.

b) Tính xác suất để người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông trong trường hợp có thắt dây an toàn.

c) So sánh xác suất ở câu a và câu b rồi rút ra kết luận.

Lời giải

Gọi $A$: “Tử vong khi tai nạn”

Gọi $B$: “Không thắt dây an toàn khi tai nạn”

a) Xác suất để người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông trong trường hợp không thắt dây an toàn là $P\left(A|B\right)$.

$AB$: “Tử vong và không thắt dây an toàn khi tai nạn” nên $n\left(AB\right)=1601$

$B$: “Không thắt dây an toàn khi tai nạn” nên $n\left(B\right)=1601+162527=164128$

Ta có $P\left(A|B\right)=\frac{n\left(AB\right)}{n\left(B\right)}=\frac{1601}{164128}\approx 0,009755$

b) Xác suất để người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông trong trường hợp có thắt dây an toàn là $P\left(A|\overline{B}\right)$

$A\overline{B}$: “Tử vong và có thắt dây an toàn khi tai nạn” nên $n\left(A\overline{B}\right)=510$

$\overline{B}$: “Có thắt dây an toàn khi tai nạn” nên $n\left(\overline{B}\right)=510+412368=412878$

Ta có $P\left(A|\overline{B}\right)=\frac{n\left(A\overline{B}\right)}{n\left(\overline{B}\right)}=\frac{510}{412878}\approx 0,001235$

Ví dụ 3

Công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với $4\text{ 000}$ bệnh nhân mắc bệnh X trong đó $2400$ bệnh nhân dùng thuốc M, $1600$ bệnh nhân dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê 2x2 như sau:

	M	N
Khỏi bệnh	1600	1200
Không khỏi bệnh	800	400

Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số $4000$ bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó

a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh.

b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.

Lời giải

Gọi biến cố $A$: “Bệnh nhân uống thuốc M”, biến cố $B$: “Bệnh nhân khỏi bệnh”

a) Xác suất uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh là $P\left(A|B\right)$.

$AB$: “uống thuốc M và khỏi bệnh” nên $n\left(AB\right)=1600$

$B$: “Bệnh nhân khỏi bệnh” nên $n\left(B\right)=1600+1200=2800$

Khi đó $P\left(A|B\right)=\frac{n\left(AB\right)}{n\left(B\right)}=\frac{1600}{2800}=\frac{4}{7}$

b) Xác suất uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh là $P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)$

$\overline{A}\overline{B}$: “uống thuốc N và không khỏi bệnh” nên $n\left(\overline{A}\overline{B}\right)=400$

$\overline{B}$: “Bệnh nhân không khỏi bệnh” nên $n\left(\overline{B}\right)=800+400=1200$

Khi đó $P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\overline{B}\right)}{n\left(\overline{B}\right)}=\frac{400}{1200}=\frac{1}{3}$

---

Công thức nhân xác suất

Với hai biến cố $A,B$ bất kì ta có

$$P\left(AB\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B|A\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)$$

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất

Nếu hai biết cố $A,B$ độc lập thì $P(AB)=P(A)\cdot P(B)$

Một số ví dụ bài tập có lời giải chi tiết về công thức nhân xác suất

Ví dụ 1

Trong một hộp kín, có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc còn lại.

a) Tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh

b) Tính xác suất để Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen

c) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu

Lời giải

Gọi $A$: “Sơn lấy được bút đen”, $B$: “Tùng lấy được bút xanh”

a) Cách 1 (hiểu truyền thống)

Xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh là $P\left(AB\right)$

Không gian mẫu: Sơn có 12 cách lấy bút, sau đó Tùng có 11 cách lấy bút nên $n\left(\mathrm{\Omega }\right)=12\cdot 11=132$

$AB$: “Sơn lấy được bút đen và Tùng lấy được bút xanh” nên $n\left(AB\right)=5\cdot 7=35$

Khi đó $P\left(AB\right)=\frac{n\left(AB\right)}{n\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{35}{132}$

Cách 2 (công thức nhân xác suất)

Ta có $P\left(AB\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B|A\right)$

$P\left(A\right)=\frac{5}{12}$

$P\left(B|A\right)$ là xác suất “Tùng lấy được bút xanh, biết Sơn đã lấy bút đen”. Khi Sơn đã lấy bút đen thì trong hộp lúc này con 11 cây bút, trong đó có 7 cây bút xanh, do đó $P\left(B|A\right)=\frac{7}{11}$

Suy ra $P\left(AB\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B|A\right)=\frac{5}{12}\cdot \frac{7}{11}=\frac{35}{132}$

Cách 3 (sơ đồ cây)

Xác suất để Sơn lấy được bút đen và Tùng lấy được bút xanh là: $\frac{5}{12}\cdot \frac{7}{11}=\frac{35}{132}$

---

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHÁC CỦA XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Câu 1. Cho các biến cố $X,Y$ bất kì, biết $P(X|Y)=0,7$, tính $P(\overline{X}|Y)$.

Lời giải

Nhận xét. $P(X|Y)+P(\overline{X}|Y)=1$

Do đó $P(\overline{X}|Y)=1-P(X|Y)$$=1-0,7=0,3$