THỂ TÍCH - LỚP 11 - LỜI GIẢI CHI TIẾT

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1. Thể Tích Khối Lăng Trụ

Thể tích của khối lăng trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.

$$ V = B \cdot h $$

• $B$: Diện tích đáy.
• $h$: Chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt đáy).

Các trường hợp đặc biệt:

• Khối hộp chữ nhật: $V = a \cdot b \cdot c$ (với $a, b, c$ là ba kích thước: dài, rộng, cao).
• Khối lập phương: $V = a^3$ (với $a$ là độ dài cạnh).

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = a$. Góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.

Lời giải:

Vì lăng trụ đứng nên chiều cao $h = AA' = BB' = CC'$.

Hình chiếu của $A'C$ lên $(ABC)$ là $AC$.

$\Rightarrow \widehat{(A'C, (ABC))} = \widehat{A'CA} = 60^\circ$.

Xét $\Delta ABC$ vuông cân tại $B$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Xét $\Delta A'AC$ vuông tại $A$: $AA' = AC \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a\sqrt{6}$.

Diện tích đáy: $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} BA \cdot BC = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{a^2}{2}$.

Thể tích: $V = S_{ABC} \cdot AA' = \frac{a^2}{2} \cdot a\sqrt{6} = \frac{a^3\sqrt{6}}{2}$.

2. Thể Tích Khối Chóp

Thể tích của khối chóp bằng một phần ba tích của diện tích đáy và chiều cao.

$$ V = \frac{1}{3} B \cdot h $$

• $B$: Diện tích đáy.
• $h$: Chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy).

Tỉ số thể tích (Simson) cho khối chóp tam giác:

Cho khối chóp $S.ABC$. Trên các cạnh $SA, SB, SC$ lần lượt lấy các điểm $A', B', C'$. Khi đó:

$$ \frac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \frac{SA'}{SA} \cdot \frac{SB'}{SB} \cdot \frac{SC'}{SC} $$

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Lời giải:

Diện tích đáy (hình vuông cạnh $a$): $S_{ABCD} = a^2$.

Chiều cao của khối chóp là $h = SA = a\sqrt{3}$.

Thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \frac{1}{3} a^2 \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $2a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm của đáy $ABC$ (trọng tâm tam giác đều). Vì $S.ABC$ là chóp đều nên $SO \perp (ABC)$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Xét $\Delta SAO$ vuông tại $O$: $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(2a)^2 - (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{4a^2 - \frac{3a^2}{9}} = \sqrt{\frac{33a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{33}}{3}$.

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Thể tích: $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{33}}{3} = \frac{a^3\sqrt{11}}{12}$.

3. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a, AD = 2a, AA' = 3a$. Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Lời giải:

Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước:

$V = AB \cdot AD \cdot AA' = a \cdot 2a \cdot 3a = 6a^3$.

---

Bài 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $AB=a, BC=a\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và góc giữa $SC$ và đáy bằng $45^\circ$. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Diện tích đáy $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$ là $AC$. $\Rightarrow \widehat{(SC, (ABC))} = \widehat{SCA} = 45^\circ$.

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$.

Trong $\Delta SAC$ vuông tại $A$: $SA = AC \cdot \tan 45^\circ = 2a \cdot 1 = 2a$.

Thể tích: $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.

---

Bài 3: Cho lăng trụ xiên $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $(ABC)$ trùng với tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Biết góc giữa cạnh bên $AA'$ và đáy bằng $60^\circ$. Tính thể tích lăng trụ.

Lời giải:

Diện tích đáy: $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Tâm $O$ là trọng tâm $\Delta ABC$. $AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Hình chiếu của $AA'$ lên đáy là $AO$. $\Rightarrow \widehat{(AA', (ABC))} = \widehat{A'AO} = 60^\circ$.

Chiều cao $h = A'O = AO \cdot \tan 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = a$.

Thể tích: $V = S_{ABC} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$.

---

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên hợp với đáy một góc $60^\circ$. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm đáy. Chiều cao $h = SO$.

Diện tích đáy $S_{ABCD} = a^2$.

Góc giữa cạnh bên $SA$ và đáy là $\widehat{SAO} = 60^\circ$.

$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

$SO = AO \cdot \tan 60^\circ = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Thể tích: $V = \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{a^3\sqrt{6}}{6}$.

---

Bài 5: Cho khối chóp $S.ABC$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB, SC$. Tính tỉ số thể tích $\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}$.

Lời giải:

Áp dụng công thức tỉ số thể tích Simson:

$\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}} = \frac{SM}{SA} \cdot \frac{SN}{SB} \cdot \frac{SP}{SC}$.

Vì $M, N, P$ là trung điểm nên $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{SP}{SC} = \frac{1}{2}$.

Vậy tỉ số thể tích là $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Nguồn: caolacvc.blogspot.com
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ