SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

---

MỤC LỤC

1. Nhắc lại

2. Ví dụ

3. Phụ lục

---

1. Nhắc lại

Có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức, bản thân bất đẳng thức thuộc dạng lớp các bài toán khó xơi trong toán. Làm bất đẳng thức đòi hỏi tư duy, khả năng suy luận, phân tích, tổng hợp cao. Tuy nhiên đối với một số bài toán thuộc lớp này có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh một cách rất hay. Bài viết này trình bày mốt số bất đẳng thức tiêu biểu được chứng minh bằng phương pháp này

Trước khi đi vào nội dung chính ta nhắc lại một số kiến thức về tính đơn điệu của hàm số

$f(x)$ đồng biến trên $J$ $\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in J$

$f(x)$ nghịch trên $J$ $\Rightarrow f^{\prime }(x)\le 0,\mathrm{\forall }x\in J$

Điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Ngược lại

$f^{\prime }(x)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in J\Rightarrow$ $f(x)$ đồng biến trên $J$

$f^{\prime }(x)\le 0,\mathrm{\forall }x\in J\Rightarrow$ $f(x)$ nghịch biến trên $J$

Lưu ý. Dấu "$=$" chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm

---

2. Ví dụ

Ta cùng tìm hiểu phương pháp này thông qua một số ví dụ sau

Ví dụ 1. Chứng minh

$\sin x<x$ với mọi $x>0$

$\sin x>x$ với mọi $x<0$

Giải

Xét hàm $f(x)=\sin x-x$

Ta có $f^{\prime }(x)=\cos x-1\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Tới đây ta không được kết luận là $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (mặc dù nó nghịch biến thật) vì theo định lý sách giáo khoa. Dấu "$=$" chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thì ta mới có thể kết luận được như vậy. Tuy nhiên trong trường hợp này $f^{\prime }(x)=0$ xảy ra tại vô hạn điểm. Do đó ta phải xử lý theo hướng khác để phù hợp với kiến thức được học

Để giải quyết vướng mắc này thì ta làm như sau. Ta sẽ chứng minh ý $\sin x<x,\mathrm{\forall }x>0$

Dễ thấy $\sin x<x$ đúng với mọi ${\displaystyle x\in [\frac{\pi }{2};+\mathrm{\infty })}$. Do vậy ta chỉ cần xét hàm số $f(x)$ trên nửa khoảng ${\displaystyle [0;\frac{\pi }{2})}$. Vậy thì vấn đề dấu $"="$ xảy ra tại hữu hạn điểm đã được giải quyết

Ta kết luận $f(x)$ nghịch biến trên nửa khoảng ${\displaystyle [0;\frac{\pi }{2})}$

Ta suy ra nếu $x>0$ thì $f(x)<0$

$\iff \sin x-x<0$

$\iff \sin x<x,\mathrm{\forall }x>0$

Chứng minh tương tự cho trường hợp $\sin x>x,\mathrm{\forall }x<0$

---

3. Phụ lục