CÔNG THỨC GIẢI NHANH HÀM SỐ BẬC BA

HÀM SỐ BẬC BA

Dạng

$$y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,(a\ne 0)$$

Đạo hàm

$$y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$$

Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị

$${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\iff b^2-3ac>0$$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi

$$[\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^2-3ac\le 0,a>0\\ & a=b=0,c>0\end{array}$$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi

$$[\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^2-3ac\le 0,a<0\\ & a=b=0,c<0\end{array}$$

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài $\delta$

$$\{\begin{array}{rl}& a<0\\ & |x_1-x_2|=\delta \end{array}$$

---

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài $\delta$

$$\{\begin{array}{rl}& a>0\\ & |x_1-x_2|=\delta \end{array}$$

Ví dụ. [1005221] Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=2x^3+3(m-1)x^2+6(m-2)+3$ nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn $3$

Giải

Ta có $y^{\prime }=6x^2+6(m-1)x+6(m-2)$

$y^{\prime }=0\iff 6x^2+6(m-1)x+6(m-2)=0$

$\iff [\begin{array}{rl}& x=-1\\ & x=2-m\end{array}(doa-b+c=0)$

YCBT$\leftrightarrow |x_1-x_2|>3\iff |(-1)-(2-m)|>3$

$\iff [\begin{array}{rl}& m<0\\ & m>6\end{array}$

---

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

$$y=-\frac{2(b^2-3ac)}{9a}x+d-\frac{bc}{9a}$$

$$y=f(x)-\frac{f^{\prime }(x)f^{″}(x)}{18a}$$

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

$$d=\sqrt{\frac{4e+16e^3}{a}}$$

Trong đó ${\displaystyle e=\frac{b^2-3ac}{9a}}$

Nếu hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,(a\ne 0)$ có hai điểm cực trị $x_1;x_2$

Hàm số $y=|f(x)|$ có $n$ điểm cực trị

+) $n=5\iff f\left(x_1\right)f\left(x_2\right)<0$

+) $n=3\iff f\left(x_1\right)f\left(x_2\right)\ge 0$

Hàm số $y=f\left(\left|x\right|\right)$ có $n$ điểm cực trị

+) $n=5\iff y^{\prime }=0$ có hai nghiệm dương phân biệt

+) $n=3\iff y^{\prime }=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ sao cho $x_1\le 0<x_2$

Phương trình bậc ba có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

Phương trình bậc ba có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi có một nghiệm là ${\displaystyle x=-\frac{b}{3a}}$

Phương trình bậc ba có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân

Phương trình bậc ba có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có một nghiệm là ${\displaystyle x=-\sqrt[3]{\frac{d}{a}}}$