CÔNG THỨC GIẢI NHANH HÀM SỐ BẬC BA

HÀM SỐ BẬC BA

Dạng

$$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,(a\ne 0)$$

Đạo hàm

$$y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$$

Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị

$$\Delta '>0\Leftrightarrow {{b}^{2}}-3ac>0$$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi

$$\left[ \begin{align} & \Delta '={{b}^{2}}-3ac\le 0,a>0 \\ & a=b=0,c > 0 \\ \end{align} \right.$$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi

$$\left[ \begin{align} & \Delta' ={{b}^{2}}-3ac\le 0,a <0 \\ & a=b=0,c < 0 \\ \end{align} \right.$$

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài $\delta $

$$\left\{ \begin{align} & a<0 \\ & \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\delta \\ \end{align} \right.$$

---

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài $\delta $

$$\left\{ \begin{align} & a>0 \\ & \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\delta \\ \end{align} \right.$$

Ví dụ. [1005221] Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=2{{x}^{3}}+3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+6\left( m-2 \right)+3$ nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn $3$

Giải

Ta có $y'=6{{x}^{2}}+6\left( m-1 \right)x+6\left( m-2 \right)$

$y'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+6\left( m-1 \right)x+6\left( m-2 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=2-m \\ \end{align} \right.(do\text{ }a-b+c=0)$

YCBT$\leftrightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|>3\Leftrightarrow \left| \left( -1 \right)-\left( 2-m \right) \right|>3$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<0 \\ & m>6 \\ \end{align} \right.$

---

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

$$y=-\frac{2\left( {{b}^{2}}-3ac \right)}{9a}x+d-\frac{bc}{9a}$$

$$y=f(x)-\frac{f'(x)f''(x)}{18a}$$

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

$$d=\sqrt{\frac{4e+16{{e}^{3}}}{a}}$$

Trong đó $\displaystyle e=\frac{{{b}^{2}}-3ac}{9a}$

Nếu hàm số $y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,(a\ne 0)$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$

Hàm số $y=\left| f(x) \right|$ có $n$ điểm cực trị

+) $n=5\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)f\left( {{x}_{2}} \right)<0$

+) $n=3\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)f\left( {{x}_{2}} \right)\ge 0$

Hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có $n$ điểm cực trị

+) $n=5\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm dương phân biệt

+) $n=3\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}\le 0<{{x}_{2}}$

Phương trình bậc ba có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

Phương trình bậc ba có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi có một nghiệm là $\displaystyle x=-\frac{b}{3a}$

Phương trình bậc ba có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân

Phương trình bậc ba có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có một nghiệm là $\displaystyle x=-\sqrt[3]{\frac{d}{a}}$