CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐƠN ĐIỆU 8+ (GIẢI CHI TIẾT)

1045151222| 1012201222

1045151222

Tìm số giá trị nguyên của $m<10$ để hàm số $y=\ln (x^2+mx+1)$ đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$.

Ta có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{2x+m}{x^2+mx+1}}\ge 0$ với mọi $x\in (0;+\mathrm{\infty }).$

Đặt $g\left(x\right)=x^2+mx+1$ có $\mathrm{\Delta }=m^2-4.$

TH1: $\mathrm{\Delta }<0\iff -2<m<2$ khi đó $g\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên ta có $2x+m\ge 0$,$\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })$

Hay $m\ge -2x,\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })$

$\Rightarrow m\ge \underset{[0;+\mathrm{\infty })}{max}(-2x)$

$\Rightarrow m\ge 0$

Kết hợp điều kiện $-2<m<2$

Suy ra $0\le m<2$.

TH2: $\mathrm{\Delta }\ge 0\iff [\begin{array}{rl}& m\le -2\\ & m\ge 2\end{array}$

Nếu $m\le -2$ thì $\underset{x\to 0}{lim}{y}^{\prime }=m\le -2$ nên không thỏa $y^{\prime }={\displaystyle \frac{2x+m}{x^2+mx+1}}\ge 0$ với mọi $x\in (0;+\mathrm{\infty }).$

Nếu $m\ge 2$ thì $2x+m>0$ với mọi $x\in (0;+\mathrm{\infty })$ và $g\left(x\right)$ có 2 nghiệm âm (do $\{\begin{array}{rl}& S=-m<0\\ & P=1>0\end{array}$)

Do đó $g\left(x\right)>0$,$\mathrm{\forall }x\in (0;+\mathrm{\infty })$. Suy ra $2\le m<10$.

Vậy ta có: $0\le m<10$ nên có 10 giá trị nguyên của $m$.

---

1012201222

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={\displaystyle \frac{x^2-4x}{x+m}}$ đồng biến trên $(1;+\mathrm{\infty })$

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-m\}$ ; $y^{\prime }={\displaystyle \frac{x^2+2mx-4m}{{(x+m)}^2}}$.

Hàm số đồng biến trên $(1;+\mathrm{\infty })$$\iff y^{\prime }\ge 0$, $\mathrm{\forall }x\in (1;+\mathrm{\infty })$$\iff \{\begin{array}{rl}& -m\le 1\\ & x^2+2mx-4m\ge 0,\mathrm{\forall }x\in (1;+\mathrm{\infty })\end{array}$ .

Ta có $x^2+2mx-4m\ge 0,\mathrm{\forall }x\in (1;+\mathrm{\infty })$

$\iff [\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }\le 0\\ & \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ & x_1<x_2\le 1\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{rl}& m^2+4m\le 0\\ & \{\begin{array}{rl}& m^2+4m>0\\ & -m+\sqrt{m^2+4m}\le 1\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{rl}& -4\le m\le 0\\ & \{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& m>0\\ & m<-4\end{array}\\ & m\ge -1\\ & m\le {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\end{array}$

$\iff -4\le m\le {\displaystyle \frac{1}{2}}$

Kết hợp với điều kiện $m>-1$, ta được $-1<m\le {\displaystyle \frac{1}{2}}$