CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐƠN ĐIỆU 8+ (GIẢI CHI TIẾT)

1045151222| 1012201222

1045151222

Tìm số giá trị nguyên của $m<10$ để hàm số $y=\ln \left( {{x}^{2}}+mx+1 \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.

Ta có ${y}'=\dfrac{2x+m}{{{x}^{2}}+mx+1}\ge 0$ với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right).$

Đặt $g\left( x \right)={{x}^{2}}+mx+1$ có $\Delta ={{m}^{2}}-4.$

TH1: $\Delta <0\Leftrightarrow -2<m<2$ khi đó $g\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên ta có $2x+m\ge 0$,$\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$

Hay $m\ge -2x,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$

$\Rightarrow m\ge \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,\left( -2x \right)$

$\Rightarrow m\ge 0$

Kết hợp điều kiện $-2<m<2$

Suy ra $0\le m<2$.

TH2: $\Delta \ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m\le -2 \\ & m\ge 2 \\ \end{aligned} \right.$

Nếu $m\le -2$ thì $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{y}'=m\le -2$ nên không thỏa ${y}'=\dfrac{2x+m}{{{x}^{2}}+mx+1}\ge 0$ với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right).$

Nếu $m\ge 2$ thì $2x+m>0$ với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right)$ và $g\left( x \right)$ có 2 nghiệm âm (do $\left\{ \begin{aligned} & S=-m<0 \\ & P=1>0 \\ \end{aligned} \right.$)

Do đó $g\left( x \right)>0$,$\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$. Suy ra $2\le m<10$.

Vậy ta có: $0\le m<10$ nên có 10 giá trị nguyên của $m$.

---

1012201222

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-4x}{x+m}$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\}$ ; ${y}'=\dfrac{{{x}^{2}}+2mx-4m}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$.

Hàm số đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$$\Leftrightarrow {y}'\ge 0$, $\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & -m\le 1 \\ & {{x}^{2}}+2mx-4m\ge 0, \forall x\in \left( 1;+\infty \right) \\ \end{aligned} \right.$ .

Ta có ${{x}^{2}}+2mx-4m\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \Delta '\le 0 \\ & \left\{ \begin{aligned} & \Delta '>0 \\ & {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{m}^{2}}+4m\le 0 \\ & \left\{ \begin{aligned} & {{m}^{2}}+4m>0 \\ & -m+\sqrt{{{m}^{2}}+4m}\le 1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & -4\le m\le 0 \\ & \left\{ \begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & m>0 \\ & m<-4 \\ \end{aligned} \right. \\ & m\ge -1 \\ & m\le \dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow -4\le m\le \dfrac{1}{2}$

Kết hợp với điều kiện $m >-1$, ta được $-1<m \le \dfrac{1}{2}$