10 HK1 L4

ĐỀ THI HKI 10 L4

10 HK1 L4

Đề thi học kì một theo chương trình sách mới Kết nối tri thức và cuộc sống

Chỉ thành viên được chia sẻ mới có thể Download

---

HƯỚNG DẪN GIẢI TỰ LUẬN

Câu 39 Cho tam giác $ABC$ có $AC=2$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$. Hãy tính độ dài $AB$ để trung tuyến $CM$ vuông góc với phân giác trong $AD$.

CÁCH 1.

Để $CM\mathrm{\perp }AD\iff \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AD}=0$

$\iff \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})\overrightarrow{AD}=0$

$\iff (\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})\overrightarrow{AD}=0$

$\iff (2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})\overrightarrow{AD}=0$

$\iff 2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$

$\iff -2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$

$\iff -2.AC.AD.\cos \alpha +AB.AD.\cos \alpha =0$

$\iff AD\cos \alpha (AB-2AC)=0$

Dễ thấy $AD$ và $\cos \alpha$ không thể bằng $0$

$\iff AB-2AC=0\iff AB=2AC=4$

Vậy $AB=4$

---

CÁCH 2.

Đặt $AB=c;CA=b$

Ta có $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ nên ${\displaystyle \frac{DB}{DC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{c}{b}}$

Suy ra

$\overrightarrow{BD}={\displaystyle \frac{BD}{DC}}\cdot \overrightarrow{DC}={\displaystyle \frac{c}{b}}\overrightarrow{DC}(\ast )$

+) Ta có: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{c}{b}}\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{c}{b}}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})$

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{c}{b}}\overrightarrow{AC}-{\displaystyle \frac{c}{b}}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}+{\displaystyle \frac{c}{b}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{c}{b}}\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \left({\displaystyle \frac{b+c}{b}}\right)\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{c}{b}}\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}={\displaystyle \frac{b}{b+c}}(\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{c}{b}}\overrightarrow{AC})$

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}={\displaystyle \frac{1}{b+c}}(b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC})$

+) Ta có: $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$

+) Để $AD\mathrm{\perp }CM\iff \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CM}=0$

$\iff {\displaystyle \frac{1}{b+c}}(b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC})({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=0$

$\iff (b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC})(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC})=0$

$\iff b{\overrightarrow{AB}}^2-2b\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+c\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-2c{\overrightarrow{AC}}^2=0$

$\iff b{c}^2-2b\cdot c\cdot b\cdot \cos A+c\cdot c\cdot b\cdot \cos A-2c{b}^2=0$

$\iff b{c}^2-2b^{2}c\cdot \cos A+b{c}^2\cdot \cos A-2b^{2}c=0$

$\iff b{c}^2(1+\cos A)-2b^{2}c(1+\cos A)=0$

$\iff (b{c}^2-2b^{2}c)(1+\cos A)=0$

$\iff b{c}^2-2b^{2}c=0$ (Do $\cos A>-1$)

$\iff c-2b=0$

$\iff c=2b$

Hay $AB=2AC=2\times 2=4$

---

CÁCH 3.

Giả sử $CM\mathrm{\perp }AD$

Xét tam giác $AMC$ có $AD$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác trong của góc $A$ nên tam giác $AMC$ cân tại $A$

Suy ra: $AM=AC=2$

Mà $AB=2AM=2\times 2=4$

Vậy $AB=4$ thì $CM\mathrm{\perp }AD$