TÍCH PHÂN BỘI HAI, TÍCH PHÂN KÉP - PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT

Tích phân kép - phương pháp đổi biến tổng quát

Ta cần tính: $\displaystyle \iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}$

+) Đổi biến $\left\{ \begin{align} & x=x\left( u,v \right) \\ & y=y\left( u,v \right) \\ \end{align} \right.\left( * \right)$

Giả sử

+) Các hàm $x\left( u,v \right);y\left( u,v \right)$ liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng ${D}'$ nằm trong mặt phẳng $Ouv$

+) Các công thức $\left( * \right)$ xác định một song ánh từ ${D}'$ lên $D$

+) $\displaystyle J=\frac{D\left( x,y \right)}{D\left( u,v \right)}=\left| \begin{matrix} {{{{x}'}}_{u}} & {{{{x}'}}_{v}} \\ {{{{y}'}}_{u}} & {{{{y}'}}_{v}} \\ \end{matrix} \right|\ne 0,\forall \left( u,v \right)\in {D}'$

Khi đó ta có công thức đổi biến của tích phân bội hai

$\displaystyle \iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}=\iint\limits_{{{D}'}}{f\left( x\left( u,v \right),y\left( u,v \right) \right)\left| J \right|dudv}$

Một số ví dụ có lời giải về phương pháp đổi biến tích phân kép, tích phân bội hai

Bài 1. Tính $\displaystyle I=\iint\limits_{D}{\left( x+y \right){{\left( x-y \right)}^{2}}dxdy}$ với $D$ là miền được giới hạn bởi các đường $x+y=1$, $x+y=3$, $x-y=0$, $x-y=1$

+) Đổi biến: $\left\{ \begin{align} & u=x+y \\ & v=x-y \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{u+v}{2} \\ & y=\frac{u-v}{2} \\ \end{align} \right.$

+) Xác định miền ${D}'$: ${D}':\left\{ \begin{align} & 1\le u\le 3 \\ & 0\le v\le 1 \\ \end{align} \right.$

+) $J=\left| \begin{matrix} {{{{x}'}}_{u}} & {{{{x}'}}_{v}} \\ {{{{y}'}}_{u}} & {{{{y}'}}_{v}} \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right|=-\frac{1}{2}\ne 0$$\Rightarrow \left| J \right|=\frac{1}{2}$

Vậy

$\displaystyle I=\iint\limits_{D}{\left( x+y \right){{\left( x-y \right)}^{2}}dxdy}=\iint\limits_{{{D}'}}{u{{v}^{2}}\left| J \right|dudv}$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{du}\int\limits_{0}^{1}{u{{v}^{2}}dv}$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{\left[ \left. \frac{u{{v}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1} \right]du}$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{\frac{u}{3}du}=\frac{2}{3}$

Bài 2. Tính $\displaystyle I=\iint\limits_{D}{\left( x+y \right)dxdy}$ với $D$ là miền được giới hạn bởi các đường $-x+y=0$, $-x+y=2$, $2x+y=0$, $2x+y=3$

+) Đổi biến: $\left\{ \begin{align} & u=-x+y \\ & v=2x+y \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{-u+v}{3} \\ & y=\frac{2u+v}{3} \\ \end{align} \right.$

+) Xác định miền ${D}':\left\{ \begin{align} & 0\le u\le 2 \\ & 0\le v\le 3 \\ \end{align} \right.$

+) $J=\left| \begin{matrix} {{{{x}'}}_{u}} & {{{{x}'}}_{v}} \\ {{{{y}'}}_{u}} & {{{{y}'}}_{v}} \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right|=-\frac{1}{3}\ne 0\Rightarrow \left| J \right|=\frac{1}{3}$

Vậy

$\displaystyle I=\iint\limits_{D}{\left( x+y \right)dxdy}=\iint\limits_{{{D}'}}{\frac{u+2v}{3}\cdot \frac{1}{3}dudv}$

$\displaystyle =\frac{1}{9}\int\limits_{0}^{2}{du}\int\limits_{0}^{3}{\left( u+2v \right)d}v=\frac{8}{3}$