TÍCH PHÂN BỘI HAI, TÍCH PHÂN KÉP - PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT

Tích phân kép - phương pháp đổi biến tổng quát

Ta cần tính: ${\displaystyle \underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy}$

+) Đổi biến $\{\begin{array}{rl}& x=x(u,v)\\ & y=y(u,v)\end{array}(\ast )$

Giả sử

+) Các hàm $x(u,v);y(u,v)$ liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng $D^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $Ouv$

+) Các công thức $(\ast )$ xác định một song ánh từ $D^{\prime }$ lên $D$

+) ${\displaystyle J=\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{x^{\prime }}_u& {x^{\prime }}_v\\ {y^{\prime }}_u& {y^{\prime }}_v\end{array}\right|\ne 0,\mathrm{\forall }(u,v)\in D^{\prime }}$

Khi đó ta có công thức đổi biến của tích phân bội hai

${\displaystyle \underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{D^{\prime }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))\left|J\right|dudv}$

Một số ví dụ có lời giải về phương pháp đổi biến tích phân kép, tích phân bội hai

Bài 1. Tính ${\displaystyle I=\underset{D}{\iint }(x+y){(x-y)}^{2}dxdy}$ với $D$ là miền được giới hạn bởi các đường $x+y=1$, $x+y=3$, $x-y=0$, $x-y=1$

+) Đổi biến: $\{\begin{array}{rl}& u=x+y\\ & v=x-y\end{array}$$\iff \{\begin{array}{rl}& x=\frac{u+v}{2}\\ & y=\frac{u-v}{2}\end{array}$

+) Xác định miền $D^{\prime }$: $D^{\prime }:\{\begin{array}{rl}& 1\le u\le 3\\ & 0\le v\le 1\end{array}$

+) $J=\left|\begin{array}{cc}{x^{\prime }}_u& {x^{\prime }}_v\\ {y^{\prime }}_u& {y^{\prime }}_v\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\ne 0$$\Rightarrow \left|J\right|=\frac{1}{2}$

Vậy

${\displaystyle I=\underset{D}{\iint }(x+y){(x-y)}^{2}dxdy=\underset{D^{\prime }}{\iint }u{v}^2\left|J\right|dudv}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{3}{\int }}du\underset{0}{\overset{1}{\int }}u{v}^{2}dv}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[{\frac{u{v}^3}{3}|}_0^1\right]du}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{u}{3}du=\frac{2}{3}}$

Bài 2. Tính ${\displaystyle I=\underset{D}{\iint }(x+y)dxdy}$ với $D$ là miền được giới hạn bởi các đường $-x+y=0$, $-x+y=2$, $2x+y=0$, $2x+y=3$

+) Đổi biến: $\{\begin{array}{rl}& u=-x+y\\ & v=2x+y\end{array}$$\iff \{\begin{array}{rl}& x=\frac{-u+v}{3}\\ & y=\frac{2u+v}{3}\end{array}$

+) Xác định miền $D^{\prime }:\{\begin{array}{rl}& 0\le u\le 2\\ & 0\le v\le 3\end{array}$

+) $J=\left|\begin{array}{cc}{x^{\prime }}_u& {x^{\prime }}_v\\ {y^{\prime }}_u& {y^{\prime }}_v\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right|=-\frac{1}{3}\ne 0\Rightarrow \left|J\right|=\frac{1}{3}$

Vậy

${\displaystyle I=\underset{D}{\iint }(x+y)dxdy=\underset{D^{\prime }}{\iint }\frac{u+2v}{3}\cdot \frac{1}{3}dudv}$

${\displaystyle =\frac{1}{9}\underset{0}{\overset{2}{\int }}du\underset{0}{\overset{3}{\int }}(u+2v)dv=\frac{8}{3}}$