Một số bài tập đại số đại cương có lời giải
Xem thêm các bài viết về đại học
Bài 1
Xét tập hợp số nguyên và tập các số tự nhiên khác . Gọi là một quan hệ trong được xác định bởi
a) Chứng minh rằng là một quan hệ tương đương
b) Tìm các lớp tương đương của các phần tử
Giải
a) Ta kiểm tra 3 điều kiện theo định nghĩa của quan hệ tương đương
+) Phản xạ
ta có
+) Đối xứng
+) Bắc cầu
thoả và
Vậy là một quan hệ tương đương trong
b)
+)
+)
+)
Bài 2
Giả sử là một quan hệ hai ngôi xác định trong tập hợp các số nguyên bởi các cặp với nguyên chẵn. Chứng minh
a) Chứng minh là một quan hệ tương đương
b) Tìm các lớp tương đương của các phần tử:
Giải
a) Kiểm tra theo định nghĩa (3 tính chất, phản xạ, đối xứng, bắc cầu)
+) , ta luôn có chẵn (phản xạ)
+) , chẵn chẵn (đối xứng)
+) , chẵn chẵn chẵn (bắc cầu)
là một quan hệ tương đương
b)
Bài 3
Cho là không gian ba chiều thông thường và là một điểm cố định của . Trong ta xác định quan hệ như sau: khi và chỉ khi thẳng hàng. Chứng minh
a) là một quan hệ tương đương trong
b) Xác định các lớp tương đương
Giải
a) Kiểm tra theo định nghĩa (3 tính chất, phản xạ, đối xứng, bắc cầu)
+) , ta luôn có thẳng hàng (phản xạ)
+) , thẳng hàng thẳng hàng (đối xứng)
+) , thẳng hàng, thẳng hàng thẳng hàng (bắc cầu)
Vậy là một quan hệ tương đương
b) , ta có
đường thẳng
Vậy các lớp tương đương là các đường thẳng đi qua (loại điểm )
Bài 4
Giả sử là đơn ánh từ một tập đến tập hợp các số tự nhiên và là một quan hệ trong xác định như sau: khi và chỉ khi
a) Chứng minh là một quan hệ thứ tự toàn phần
b) có phải là một quan hệ thứ tự tốt không? Tại sao?
Giải
a) Kiểm tra theo định nghĩa (3 tính chất, phản xạ, đối xứng, bắc cầu)
+) , ta luôn có (phản xạ)
+) ,
Vì là đơn ánh nên (phản đối xứng)
+) , (bắc cầu)
Vậy là một quan hê thứ tự
+)
Vậy là một quan hệ thứ tự toàn phần
b) Nhớ lại, quan hệ thứ tự tốt nếu nó là quan hệ thứ tự và tồn tại phần tử tối đại hoặc tối tiểu
Do là quan hệ thứ tự tốt nên tồn tại
là phần tử tối tiểu trong
Vậy là một quan hệ thứ tự tốt
Bài 5
Cho ánh xạ , xét quan hệ trên tập xác định như sau:
a) Chứng minh là một quan hệ tương đương
b) Xét trường hợp ( là tập hợp các số nguyên), . Xác định các lớp tương đương của trên
Giải
a) Kiểm tra (3 tính chất, phản xạ, đối xứng, bắc cầu)
+) (tính phản xạ)
+) , (tính đối xứng)
+) , (tính bắc cầu)
Vậy là một quan hệ tương đương trên
b) Với
Vậy các lớp tương đương là:
Bài 6
Với là tập hợp các số tự nhiên. Trên , định nghĩa quan hệ như sau:
a) Chứng minh là một quan hệ tương đương
b) Xác định các lớp tương đương của
Giải
a) Kiểm tra theo định nghĩa (3 tính chất, đối xứng, bắc cầu)
+) ta có (tính phản xạ)
+) thoả mãn
(tính đối xứng)
+) thoả mãn:
(tính bắc cầu)
là một quan hệ tương đương
b)
Bài 7
Tìm điều kiện đối với các số thực để với phép toán sau lập thành một nhóm:
Giải
+) Tính kết hợp:
TH1: (không thoả mãn)
TH2: (không thoả mãn)
TH3: có phần tử đơn vị là , nghịch đảo của là . Thoả mãn. Vậy
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luậnể ứ á
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: