BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT)

Một số bài tập đại số đại cương có lời giải

Xem thêm các bài viết về đại học

---

Xét tập hợp số nguyên $\mathbb{Z}$ và tập $\mathbb{N}^*$ các số tự nhiên khác $0$. Gọi $S$ là một quan hệ trong $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$ được xác định bởi $(a,b)S(c,d)\Leftrightarrow ad=bc$

a) Chứng minh rằng $S$ là một quan hệ tương đương

b) Tìm các lớp tương đương của các phần tử $(0;1),(-1;1),(1;2)$

Giải

a) Ta kiểm tra 3 điều kiện theo định nghĩa của quan hệ tương đương

+) Phản xạ

$\forall (a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$ ta có $ab=ba\Leftrightarrow (a,b)S(a,b)$

+) Đối xứng

$\forall (a,b),(c,d)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$

$(a,b)S(c,d)\Leftrightarrow ad=bc\Leftrightarrow cb=da\Leftrightarrow (c,d)S(a,b)$

+) Bắc cầu

$\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$ thoả $(a,b)S(c,d)$ và $(c,d)S(e,f)$

$\left\{ \begin{align} & (a,b)S(c,d) \\ & (c,d)S(e,f) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & ad=bc \\ & cf=de \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \\ & \frac{c}{d}=\frac{e}{f} \\ \end{align} \right.$ $\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{e}{f} \Leftrightarrow af=be\Leftrightarrow (a,b)S(e,f)$

Vậy $S$ là một quan hệ tương đương trong $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$

b)

+) $C(0;1)=\left\{ (a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*:(a,b)S(0,1) \right\}$

$=\left\{ (a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*:a=0 \right\}$

$=\left\{ (0,b):b\in \mathbb{N}^* \right\}$

+) $C(-1;1)=\left\{ (a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*:(a,b)S(-1,1) \right\}$

$=\left\{ (a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*:a=-b \right\}$

$=\left\{ (-b,b):b\in \mathbb{N}^* \right\}$

+) $C(1;2)=\left\{ (a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*:(a,b)S(1,2) \right\}$

$=\left\{ (a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*:2a=b \right\}$

$=\left\{ (a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*:a=\frac{b}{2} \right\}$

$=\left\{ \left( \frac{b}{2};b \right):b\in \mathbb{N}^* \right\}$

---

Giả sử $C$ là một quan hệ hai ngôi xác định trong tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z}$ bởi các cặp $\left( x;y \right)$ với $x;y$ nguyên $x+y$ chẵn. Chứng minh

a) Chứng minh $C$ là một quan hệ tương đương

b) Tìm các lớp tương đương của các phần tử: $-1;1;2$

a) Kiểm tra theo định nghĩa (3 tính chất, phản xạ, đối xứng, bắc cầu)

+) $\forall x\in \mathbb{Z}$, ta luôn có $x+x=2x$ chẵn $\Rightarrow xCx$ (phản xạ)

+) $\forall x,y\in \mathbb{Z}$, $xCy\Leftrightarrow x+y$ chẵn $\Leftrightarrow y+x$ chẵn $\Leftrightarrow yCx$ (đối xứng)

+) $\forall x,y,z\in \mathbb{Z}$, $xCy,yCz$$\Leftrightarrow $$x+y,y+z$ chẵn $\Leftrightarrow x+2y+z$ chẵn $\Leftrightarrow x+z$ chẵn $\Leftrightarrow $$xCz$ (bắc cầu)

$\Rightarrow $$C$ là một quan hệ tương đương

b) $C\left( -1 \right)=\left\{ x\in \mathbb{Z}:x+\left( -1 \right)\vdots 2 \right\}=\left\{ x\text{ le} \right\}$

$C\left( 1 \right)=\left\{ x\in \mathbb{Z}:x+1\vdots 2 \right\}=\left\{ x\text{ le} \right\}$

$C\left( 2 \right)=\left\{ x\in \mathbb{Z}:x+2\vdots 2 \right\}=\left\{ x\text{ chan} \right\}$

---

Cho $X$ là không gian ba chiều thông thường và $O$ là một điểm cố định của $X$. Trong $X-\left\{ O \right\}$ ta xác định quan hệ $S$ như sau: $PSP'$ khi và chỉ khi $O,P,P'$ thẳng hàng. Chứng minh

a) $S$ là một quan hệ tương đương trong $X-\left\{ O \right\}$

b) Xác định các lớp tương đương

a) Kiểm tra theo định nghĩa (3 tính chất, phản xạ, đối xứng, bắc cầu)

+) $\forall P\in X-\left\{ O \right\}$, ta luôn có $O,P,P$ thẳng hàng$\Rightarrow PSP$ (phản xạ)

+) $\forall P,P'\in X-\left\{ O \right\}$, $PSP'$$\Leftrightarrow O,P,P'$ thẳng hàng $\Leftrightarrow O,P'P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow P'SP$ (đối xứng)

+) $\forall P,P',P''\in X-\left\{ O \right\}$, $P\text{S}P',P'SP''$$\Leftrightarrow O,P,P'$ thẳng hàng, $O,P',P''$ thẳng hàng $\Leftrightarrow O,P,P''$ thẳng hàng$\Leftrightarrow P\text{S}P''$ (bắc cầu)

Vậy $S$ là một quan hệ tương đương

b) $\forall P\in X-\left\{ O \right\}$, ta có

$C\left( P \right)=\left\{ P'\in X-\left\{ O \right\}:P'SP \right\}=\left\{ P'\in X-\left\{ O \right\}:O,P',P\text{ thang hang} \right\}$$=$ đường thẳng $OP-\left\{ O \right\}$

Vậy các lớp tương đương là các đường thẳng đi qua $O$ (loại điểm $O$)

---

Giả sử $f$ là đơn ánh từ một tập $X$ đến tập hợp các số tự nhiên $\mathbb{N}$ và $S$ là một quan hệ trong $X$ xác định như sau: $xSx'$ khi và chỉ khi $f\left( x \right)\le f\left( x' \right)$

a) Chứng minh $S$ là một quan hệ thứ tự toàn phần

b) $S$ có phải là một quan hệ thứ tự tốt không? Tại sao?

a) Kiểm tra theo định nghĩa (3 tính chất, phản xạ, đối xứng, bắc cầu)

+) $\forall x\in X$, ta luôn có $f\left( x \right)=f\left( x \right)\Rightarrow xSx$ (phản xạ)

+) $\forall x,y\in X$, $xSy,ySx$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & f\left( x \right)\le f\left( y \right) \\ & f\left( y \right)\le f\left( x \right) \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( y \right)$

Vì $f$ là đơn ánh nên $x=y$ (phản đối xứng)

+) $\forall x,y,z\in X$, $xSy,ySz$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & f\left( x \right)\le f\left( y \right) \\ & f\left( y \right)\le f\left( z \right) \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow f\left( x \right)\le f\left( z \right)$$\Leftrightarrow xSz$ (bắc cầu)

Vậy $S$ là một quan hê thứ tự

+) $\forall x,y\in X\Rightarrow $$f\left( x \right),f\left( y \right)\in \mathbb{N}\Rightarrow \left[ \begin{align} & f\left( x \right)\le f\left( y \right) \\ & f\left( y \right)\le f\left( x \right) \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{align} & xSy \\ & ySx \\ \end{align} \right.$

Vậy $S$ là một quan hệ thứ tự toàn phần

b) Nhớ lại, quan hệ thứ tự tốt nếu nó là quan hệ thứ tự và tồn tại phần tử tối đại hoặc tối tiểu

$\forall A\subset X\Rightarrow f\left( A \right)\subset \mathbb{N}$

Do $\mathbb{N}$ là quan hệ thứ tự tốt nên tồn tại ${{n}_{0}}=\min \left\{ f\left( A \right) \right\}\in \mathbb{N}$

$\Rightarrow \exists {{x}_{0}}\in A:f\left( {{x}_{0}} \right)={{n}_{0}}\Rightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)\le f\left( x \right),\forall x\in A\Rightarrow {{x}_{0}}Sx,\forall x\in A$

$\Rightarrow {{x}_{0}}$ là phần tử tối tiểu trong $A$

Vậy $S$ là một quan hệ thứ tự tốt

---

Cho ánh xạ $\alpha :E\to F$, xét quan hệ $R$ trên tập $E$ xác định như sau: $xSx\Leftrightarrow \alpha \left( x \right)=\alpha \left( x' \right)$

a) Chứng minh $S$ là một quan hệ tương đương

b) Xét trường hợp $E=F=\mathbb{Z}$ ($\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên), $\alpha \left( x \right)={{x}^{2}},\forall x\in \mathbb{R}$. Xác định các lớp tương đương của $S$ trên $\mathbb{Z}$

a) Kiểm tra (3 tính chất, phản xạ, đối xứng, bắc cầu)

+) $\forall x\in E:\alpha \left( x \right)=\alpha \left( x \right)\Rightarrow xSx$ (tính phản xạ)

+) $\forall x,y\in E$, $xSy\Leftrightarrow \alpha \left( x \right)=\alpha \left( y \right)\Leftrightarrow \alpha \left( y \right)=\alpha \left( x \right)\Leftrightarrow ySx$ (tính đối xứng)

+) $\forall x,y,z\in E$, $xSy,ySz$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \alpha \left( x \right)=\alpha \left( y \right) \\ & \alpha \left( y \right)=\alpha \left( z \right) \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \alpha \left( x \right)=\alpha \left( z \right)\Leftrightarrow xSz$ (tính bắc cầu)

Vậy $S$ là một quan hệ tương đương trên $E$

b) Với $\alpha :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},x\mapsto {{x}^{2}}$

$C\left( x \right)=\left\{ y\in \mathbb{Z}:ySx \right\}=\left\{ y\in \mathbb{Z}:\alpha \left( x \right)=\alpha \left( y \right) \right\}=\left\{ y\in \mathbb{Z}:{{x}^{2}}={{y}^{2}} \right\}$

$=\left\{ y\in \mathbb{Z}:x=\pm y \right\}=\left\{ -x;x \right\}$

Vậy các lớp tương đương là: $\left\{ 0 \right\},\left\{ 1;-1 \right\},\left\{ 2;-2 \right\}$

---

Với $\mathbb{N}$ là tập hợp các số tự nhiên. Trên $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, định nghĩa quan hệ $\beta $ như sau: $\left( a,b \right)S\left( c,d \right)\Leftrightarrow a+d=b+c$

a) Chứng minh $S$ là một quan hệ tương đương

b) Xác định các lớp tương đương của $\left( 0;3 \right),\left( 5;8 \right),\left( 8,3 \right)$

a) Kiểm tra theo định nghĩa (3 tính chất, đối xứng, bắc cầu)

+) $\forall \left( a;b \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ ta có $a+b=b+a$$\Leftrightarrow $$\left( a;b \right)S\left( a;b \right)$ (tính phản xạ)

+) $\forall \left( a;b \right),\left( c;d \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ thoả mãn

$\left( a;b \right)S\left( c;d \right)\Leftrightarrow a+d=b+c\Leftrightarrow c+b=d+a\Leftrightarrow \left( c;d \right)S\left( a;b \right)$ (tính đối xứng)

+) $\forall \left( a;b \right),\left( c;d \right),\left( e,f \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ thoả mãn: $\left( a;b \right)S\left( c;d \right),\left( c;d \right)S\left( e;f \right)$

$\left\{ \begin{align} & a+d=b+c \\ & c+f=d+e \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a+f=b+e\Leftrightarrow \left( a;b \right)S\left( e;f \right)$ (tính bắc cầu)

$\Rightarrow S$ là một quan hệ tương đương

b) $C\left( 0;3 \right)=\left\{ \left( a;b \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}:\left( a;b \right)S\left( 0;3 \right) \right\}$

$=\left\{ \left( a;b \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}:a+3=b \right\}$

$=\left\{ \left( a;a+3 \right):a\in \mathbb{N} \right\}$

$C\left( 5;8 \right)=\left\{ \left( a;b \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}:\left( a;b \right)S\left( 5;8 \right) \right\}$

$=\left\{ \left( a;b \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}:a+8=b+5 \right\}$

$=\left\{ \left( a;a+3 \right):a\in \mathbb{N} \right\}$

$C\left( 8;3 \right)=\left\{ \left( a;b \right)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}:\left( a;b \right)S\left( 8;3 \right) \right\}$

$=\left\{ \left( a;b \right)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}:a+3=b+8 \right\}$

$=\left\{ \left( a;b \right)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}:a=b+5 \right\}$

$=\left\{ \left( b+5;b \right):b\in \mathbb{N} \right\}$

---

Tìm điều kiện đối với các số thực $a,b$ để $\mathbb{R}$ với phép toán sau lập thành một nhóm: $x*y=ax+by$

$\forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x*y \right)*z=\left( ax+by \right)*z={{a}^{2}}x+aby+bz$

$x*\left( y*z \right)=x*\left( ay+bz \right)=ax+bay+{{b}^{2}}z$

+) Tính kết hợp: $x*\left( y*z \right)=x*\left( y*z \right)$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}x+aby+bz=ax+bay+{{b}^{2}}z$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}=a \\ & ab=ba \\ & b={{b}^{2}} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=0;a=1 \\ & b=0;b=1 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left( a;b \right)\in \left\{ \left( 0;1 \right),\left( 0;0 \right),\left( 1;0 \right),\left( 1;1 \right) \right\}$

TH1: $\left( a;b \right)=\left( 0;0 \right)$ (không thoả mãn)

TH2: $\left( a;b \right)\in \left\{ \left( 1;0 \right),\left( 0;1 \right) \right\}$ (không thoả mãn)

TH3: $\left( a;b \right)\in \left\{ \left( 1;1 \right) \right\}$$\Leftrightarrow a*b\Leftrightarrow x+y$$\Leftrightarrow \left( \mathbb{R},* \right)$ có phần tử đơn vị là $0$, nghịch đảo của $x$ là $-x$. Thoả mãn. Vậy $a=b=1$