Phương trình đường thẳng Oxyz

1. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Để viết PTTS của đường thẳng ta cần 1 điểm và 1 VTCP

Đường thẳng $d$ qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ có phương trình tham số là

$$d:\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Đường thẳng $d$ qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=(a;b;c),abc\ne 0$ có phương trình chính tắc là

$${\displaystyle d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}}$$

3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

$d_1$ qua $M_1$ và có VTCP $\overrightarrow{u_1}$

$d_2$ qua $M_2$ và có VTCP $\overrightarrow{u_2}$

Bước 1. Tính $[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]$

Bước 2. Nếu

+) ${\displaystyle \{\begin{array}{l}[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]=0\\ [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{M_1{M}_2}]=0\end{array}}$ thì $d_1$ trùng $d_2$

+) ${\displaystyle \{\begin{array}{l}[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]=0\\ [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{M_1{M}_2}]\ne 0\end{array}}$ thì $d_1$ song song $d_2$

+) ${\displaystyle \{\begin{array}{l}[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]\ne 0\\ [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{M_1{M}_2}]=0\end{array}}$ thì $d_1$ cắt $d_2$

+) ${\displaystyle \{\begin{array}{l}[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]\ne 0\\ [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{M_1{M}_2}]\ne 0\end{array}}$ thì $d_1$ chéo $d_2$

4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho $d:\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$

$d$ chứa $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$

Khi đó khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d$ là

Cách 1. Áp dụng công thức

$$d(M,d)=\frac{|[\overrightarrow{u};\overrightarrow{M_{0}M}]|}{|\overrightarrow{u}|}$$

Cách 2. +) Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $d$

+) Khi đó $H\in d$ nên ta tham số hoá toạ độ của $H$

+) Áp dụng $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u}=0$

5. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Cho ${\displaystyle d_1\{\begin{array}{l}x=x_1+a_{1}t\\ y=y_1+b_{1}t\\ z=z_1+c_{1}t\end{array}}$ và ${\displaystyle d_2\{\begin{array}{l}x=x_2+a_{2}t\\ y=y_2+b_{2}t\\ z=z_2+c_{2}t\end{array}}$

$d_1$ có VTCP $\overrightarrow{u_1}$ và $d_2$ có VTCP $\overrightarrow{u_2}$

Khi đó góc giữa $d_1$ và $d_2$ được tính theo công thức

$$\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}|.|\overrightarrow{u_2}|}$$

6. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$

$d$ có VTCP $\overrightarrow{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n}$

Khi đó góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ được xác định bởi

$$\cos (d,P)=\frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{n}|}$$