Phương trình đường thẳng $Oxyz$

1. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Để viết PTTS của đường thẳng ta cần 1 điểm và 1 VTCP

Đường thẳng $d$ qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTCP $\vec{u}=(a;b;c)$ có phương trình tham số là

$$d: \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{cases} (t\in \mathbb R)$$

2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Đường thẳng $d$ qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có VTCP $\vec{u}=(a;b;c), abc\ne 0$ có phương trình chính tắc là

$$\displaystyle d: \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$

3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

$d_1$ qua $M_1$ và có VTCP $\vec{u_1}$

$d_2$ qua $M_2$ và có VTCP $\vec{u_2}$

Bước 1. Tính $[\vec{u_1};\vec{u_2}]$

Bước 2. Nếu

+) $\displaystyle \begin{cases}[\vec{u_1};\vec{u_2}]=0\\ [\vec{u_1};\overrightarrow{M_1M_2}]=0 \end{cases}$ thì $d_1$ trùng $d_2$

+) $\displaystyle \begin{cases}[\vec{u_1};\vec{u_2}]=0\\ [\vec{u_1};\overrightarrow{M_1M_2}]\ne 0 \end{cases}$ thì $d_1$ song song $d_2$

+) $\displaystyle \begin{cases}[\vec{u_1};\vec{u_2}]\ne 0\\ [\vec{u_1};\overrightarrow{M_1M_2}]=0 \end{cases}$ thì $d_1$ cắt $d_2$

+) $\displaystyle \begin{cases}[\vec{u_1};\vec{u_2}]\ne 0\\ [\vec{u_1};\overrightarrow{M_1M_2}]\ne 0 \end{cases}$ thì $d_1$ chéo $d_2$

4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho $d:\begin{cases}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{cases}$

$d$ chứa $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có VTCP $\vec{u}=(a;b;c)$

Khi đó khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d$ là

Cách 1. Áp dụng công thức

$$d(M,d)=\frac{|[\vec{u};\overrightarrow{M_0M}]|}{|\vec{u}|}$$

Cách 2. +) Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $d$

+) Khi đó $H\in d$ nên ta tham số hoá toạ độ của $H$

+) Áp dụng $\overrightarrow{MH}.\vec{u}=0$

5. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Cho $\displaystyle d_1 \begin{cases} x=x_1+a_1t\\ y=y_1+b_1t\\ z=z_1+c_1t\end{cases}$ và $\displaystyle d_2 \begin{cases}x=x_2+a_2t\\ y=y_2+b_2t\\ z=z_2+c_2t \end{cases}$

$d_1$ có VTCP $\vec{u_1}$ và $d_2$ có VTCP $\vec{u_2}$

Khi đó góc giữa $d_1$ và $d_2$ được tính theo công thức

$$\cos(d_1,d_2)=\frac{|\vec{u_1}.\vec{u_2}|}{|\vec{u_1}|.|\vec{u_2}|}$$

6. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$

$d$ có VTCP $\vec{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}$

Khi đó góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ được xác định bởi

$$\cos(d,P)=\frac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|}$$