BÀI TẬP TOẠ ĐỘ VÉCTƠ - XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ CHÂN ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG CỦA TAM GIÁC

BÀI TẬP TOẠ ĐỘ VÉCTƠ - XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ CHÂN ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG CỦA TAM GIÁC

Câu 1.Cho tam giác $ABC$ có $A\left( 3;2 \right),B\left( -1;5 \right)$ và $C\left( -2;-3 \right)$. Tìm toạ độ điểm $D$ là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$

Gọi $D\left( x;y \right)$ là toạ độ chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$

Theo tính chất đường phân giác trong của tam giác ta có:

$\dfrac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\left( 1 \right)$

Mà $AB=\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}=5$

$AC=\sqrt{{{\left( -5 \right)}^{2}}+{{\left( -5 \right)}^{2}}}=5\sqrt{2}$

Từ $\left( 1 \right)$, suy ra: $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $DC=\sqrt{2}DB$

hay $\overrightarrow{DC}=-\sqrt{2}\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=-\sqrt{2}\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\left( -1-\sqrt{2} \right)\overrightarrow{DB}\left( 2 \right)$

Mà $\overrightarrow{BC}=\left( -1;-8 \right)$

$\overrightarrow{DB}=\left( -1-x;5-y \right)$

Từ $\left( 2 \right)$ suy ra $\left\{ \begin{align} & \left( -1-\sqrt{2} \right)\left( -1-x \right)=-1 \\ & \left( -1-\sqrt{2} \right)\left( 5-y \right)=-8 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \left( 1+\sqrt{2} \right)\left( 1+x \right)=-1 \\ & \left( 1+\sqrt{2} \right)\left( y-5 \right)=-8 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 1+x=\frac{-1}{1+\sqrt{2}} \\ & y-5=\frac{-8}{1+\sqrt{2}} \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x=-1+\frac{-1}{1+\sqrt{2}} \\ & y=5+\frac{-8}{1+\sqrt{2}} \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x=-\sqrt{2} \\ & y=13-8\sqrt{2} \\ \end{align} \right.$ hay $D\left( -\sqrt{2};13-8\sqrt{2} \right)$

Vậy toạ độ chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh $A$ là: $D\left( -\sqrt{2};13-8\sqrt{2} \right)$