MỆNH ĐỀ

MỆNH ĐỀ - LOGIC TOÁN

1. Khái niệm mệnh đề

• Mệnh đề là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai.
• Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
• Các câu hỏi, câu cảm thán, câu đặc biệt không phải là mệnh đề.

Mệnh đề thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa như $P$, $Q$, $A$, $B$,...

Ví dụ.

• “Quy Nhơn là thành phố của tỉnh Bình Định” (Mệnh đề đúng)
• “5 không là số nguyên tố” (Mệnh đề sai)
• “Hôm nay trời có mưa không?” (Không phải là mệnh đề, vì đây là câu hỏi)
• “Hôm nay trời đẹp quá!” (Không phải là mệnh đề, vì đây là câu cảm thán)
• “Mưa rồi” (Không phải là mệnh đề, vì đây là câu đặc biệt)

2. Mệnh đề chứa biến

+) Xét câu “$x$ chia hết cho 3”. Đây là một mệnh đề chứa biến $P(x)$.

Khi thay $x$ bởi một giá trị, ta được một mệnh đề.

• Thay $x=3$ ta được mệnh đề “3 chia hết cho 3” (Mệnh đề đúng)
• Thay $x=4$ ta được mệnh đề “4 chia hết cho 3” (Mệnh đề sai)

3. Phủ định của mệnh đề

Để phủ định một mệnh đề ta thêm từ “không” hoặc “không phải”.

+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ được ký hiệu là: $\bar{P}$ (hoặc $\neg P$)

Ví dụ.

• $P$: “3 là số nguyên tố”. Khi đó $\bar{P}$: “3 không phải là số nguyên tố”
• $Q$: “12 không chia hết cho 4”. Khi đó $\bar{Q}$: “12 chia hết cho 4”

4. Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề “Nếu $P$ thì $Q$” được gọi là mệnh đề kéo theo. Ký hiệu “$P \Rightarrow Q$”.

+) Mệnh đề “$P \Rightarrow Q$” **sai** khi $P$ **đúng** và $Q$ **sai**.

Ví dụ.

• “Nếu $3>5$ thì $3^2 > 5^2$” (Mệnh đề đúng, vì $P$ sai)
• “Nếu $3<5$ thì $3^2 < 5^2$” (Mệnh đề đúng, vì $P$ đúng, $Q$ đúng)
• “Nếu $3<5$ thì $-3 < -5$” (Mệnh đề sai, vì $P$ đúng, $Q$ sai)

Định lý

+) Các định lý toán học là các mệnh đề đúng và thường cho dưới dạng mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

+) Khi đó ta nói:

• $P$ là **điều kiện đủ** để có $Q$
• $Q$ là **điều kiện cần** để có $P$

Lưu ý. Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ có những cách đọc như sau:

• $P$ kéo theo $Q$
• $P$ suy ra $Q$
• Nếu $P$ thì $Q$
• $P$ là điều kiện đủ để có $Q$

5. Mệnh đề đảo

Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là **mệnh đề đảo** của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

Ví dụ.

Mệnh đề gốc: “Tam giác $ABC$ đều thì có ba góc bằng nhau” ($P \Rightarrow Q$)

Mệnh đề đảo: “Tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó đều” ($Q \Rightarrow P$)

6. Mệnh đề tương đương

Nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng thì ta nói $P$ và $Q$ là hai **mệnh đề tương đương** và ký hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.

+) Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ có những cách đọc như sau:

• $P$ tương đương $Q$
• $P$ khi và chỉ khi $Q$
• $P$ nếu và chỉ nếu $Q$
• $P$ là **điều kiện cần và đủ** để có $Q$

7. Ký hiệu $\forall$ và $\exists$

• Ký hiệu $\forall$ đọc là **mọi**, hiểu với nghĩa là **tất cả**.
• Ký hiệu $\exists$ đọc là **tồn tại**, hiểu với nghĩa là **có ít nhất một**.

Ví dụ.

• “$\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \geq 0$” hiểu là “Mọi $x$ thuộc tập số thực $\mathbb{R}$ thì $x^2 \geq 0$” (Mệnh đề đúng)
• “$\exists n \in \mathbb{Z}$ sao cho $n^2 = n$” hiểu là “Có ít nhất một số nguyên $n$ sao cho $n^2 = n$” (Mệnh đề đúng, ví dụ $n=0$ hoặc $n=1$)

Lưu ý (Phủ định).

• Phủ định của $\forall$ là $\exists$.
• Phủ định của $\exists$ là $\forall$.

Ví dụ: Phủ định của $P$: “$\forall x, x^2+1 > 0$” là $\bar{P}$: “$\exists x, x^2+1 \leq 0$”.