PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Oxy

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG OXY

MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Cùng caolacvc blog tìm hiểu về phần phương trình đường thẳng trong $Oxy$.

Phương trình đường thẳng được sử dụng rộng rãi trong hình học, vật lý, kinh tế và các lĩnh vực khác để mô tả các mối quan hệ tuyến tính.

Trong toán học và hình học dùng để giải quyết các bài toán về xác định vị trí và khoảng cách, xác định mối quan hệ song song, vuông góc giữa các đường thẳng.

Trong vật lý dùng để mô tả chuyển động thẳng, Biểu diễn mối quan hệ tuyến tính giữa các đại lượng vật lý, chẳng hạn như giữa lực và gia tốc $F=ma$ hoặc giữa điện áp và dòng điện $U=IR$.

Trong kinh tế và tài chính, Phương trình đường thẳng được sử dụng để biểu diễn mối quan hệ tuyến tính giữa các biến kinh tế, chẳng hạn như cung và cầu, giá cả và sản lượng.

Trong khoa học máy tính mà cụ thể là đồ hoạ máy tính, đường thẳng được sử dụng để vẽ, dựng hình, hoặc mô tả chuyển động của các đối tượng trong không gian 2D.

Trong kỹ thuật thiết kế và xây dựng, tính toán và mô phỏng các yếu tố kết cấu thẳng như dầm, cột, hoặc đường đi của các lực.

Trong trí tuệ nhân tạo và học máy, thuật toán hồi quy tuyến tính (Linear Regression) dựa trên phương trình đường thẳng để tìm ra mối quan hệ giữa các biến và dự đoán giá trị đầu ra.

Trong đời sống thực tế, phương trình đường thẳng giúp tối ưu hóa tuyến đường, ví dụ: trong vận chuyển hoặc lập lộ trình xe buýt, máy bay.

---

VÉCTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Véctơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ nếu giá của nó vuông góc với đường thẳng $\mathrm{\Delta }$

Nhận xét

Một đường thẳng có vô số véctơ pháp tuyến và chúng cùng phương với nhau

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một véctơ pháp tuyến

VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Véctơ $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\mathrm{\Delta }$

Nhận xét

Một đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương và chúng cùng phương với nhau

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một véctơ chỉ phương

LIÊN HỆ GIỮA VTPT VÀ VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG

+) Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có VTPT $\overrightarrow{n}=(A;B)$. Khi đó $\mathrm{\Delta }$ có VTCP $\overrightarrow{u}=(B;-A)$ hoặc $\overrightarrow{u}=(-B;A)$

+) Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có VTCP $\overrightarrow{u}=(a;b)$. Khi đó $\mathrm{\Delta }$ có VTPT $\overrightarrow{n}=(b;-a)$ hoặc $\overrightarrow{n}=(-b;a)$

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG (PTTQ)

Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng $Ax+By+C=0$ với $A$ và $B$ không đồng thời bằng $0$. Ngược lại, mỗi phương trình dạng $Ax+By+C=0$ với $A$ và $B$ không đồng thời bằng $0$, đều là phương trình của một đường thẳng nhận $\overrightarrow{n}=(A;B)$ là véctơ pháp tuyến

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua $M(x_0;y_0)$, và có VTPT $\overrightarrow{n}=(A;B)$

$$\mathrm{\Delta }:A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$$

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(-2;3)$ và có VTPT là $\overrightarrow{n}=(4;5)$

Lời giải

Phương trình đường thẳng đi qua $A(-2;3)$ và có VTPT là $\overrightarrow{n}=(4;5)$ có phương trình tổng quát:

$\mathrm{\Delta }:4(x+2)+5(y-3)=0$

$\mathrm{\Delta }:4x+8+5y-15=0$

$\mathrm{\Delta }:4x+5y-7=0$

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG (PTTS)

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M(x_0;y_0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=(a;b)$

$$\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=x_0+at\\ & y=y_0+at\end{array}$$

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua $A(-2;3)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=(-5;2)$

Lời giải

Phương trình tham số đường thẳng đi qua $A(-2;3)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=(-5;2)$

$\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=-2-5t\\ & y=3+2t\end{array}$

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT)

1. CHUYỂN PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ SANG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Ví dụ 3. Chuyển phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }:x-2y+2=0$ sang phương trình tham số Cho $x=0\Rightarrow y=1$

Lời giải

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ qua $M(0;1)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=(1;-2)$, suy ra $\mathrm{\Delta }$ có VTCP $\overrightarrow{u}=(2;1)$

PTTS, $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=2t\\ & y=1+t\end{array}$

2. CHUYỂN PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT SANG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Ví dụ 4. Chuyển phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=1-2t\\ & y=3-4t\end{array}$ sang phương trình tổng quát

Lời giải

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ qua $M(1;3)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=(-2;-4)$, suy ra $\mathrm{\Delta }$ có VTPT $\overrightarrow{n}=(4;-2)$ hay ${\overrightarrow{n}}^{\prime }=(2;-1)$

PTTQ, $\mathrm{\Delta }:2(x-1)-1(y-3)=0$

Hay $\mathrm{\Delta }:2x-y+1=0$

3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ BIẾT MỘT VÉCTƠ PHÁP TUYẾN HOẶC CHỈ PHƯƠNG

Ví dụ 5. Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$, biết $\mathrm{\Delta }$ qua $A(1;2)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;4)$

Lời giải

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;4)$ nên có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(4;-3)$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ qua $A(1;2)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;4)$ nên có phương trình tham số

$$\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=1+3t\\ & y=2+4t\end{array}$$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ qua $A(1;2)$ và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(4;-3)$ nên có phương trình tổng quát

$\mathrm{\Delta }:4(x-1)-3(y-2)=0$

Hay $\mathrm{\Delta }:4x-3y+2=0$

4. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM

Ví dụ 6. Viết phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua hai điểm $A(1;2)$ và $B(3;4)$

Lời giải

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua hai điểm $A,B$ nên có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(2;2)$ hay ta chọn $\overrightarrow{u}=(1;1)$

Suy ra $\mathrm{\Delta }$ có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-1)$

+) Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua $A(1;2)$ và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-1)$ nên có PTTQ

$\mathrm{\Delta }:1(x-1)-1(y-2)=0$

Hay $\mathrm{\Delta }:x-y+1=0$

+) Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua $A(1;2)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;1)$ nên có PTTS

$$\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=1+t\\ & y=2+t\end{array}$$

5. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC

Ví dụ 7. Viết phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A(1;2)$ và song song với đường thẳng $d:x+y+1=0$

Lời giải

Đường thẳng $d$ có một véctơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=(1;1)$

Do đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ song song với đường thẳng $d$ nên ${\overrightarrow{n}}_{\mathrm{\Delta }}={\overrightarrow{n}}_d=(1;1)$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ qua điểm $A(1;2)$ và có véctơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{\mathrm{\Delta }}=(1;1)$ nên có PTTQ

$\mathrm{\Delta }:1(x-1)+1(y-2)=0$

Hay $\mathrm{\Delta }:x+y-3=0$

6. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC

Ví dụ 8. Viết phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A(2;1)$ và vuông góc với đường thẳng $d:x+2y-1=0$

Lời giải

Đường thẳng $d$ có véctơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=(1;2)$, suy ra ${\overrightarrow{u}}_d=(2;-1)$

Do đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với đường thẳng $d$ nên ${\overrightarrow{n}}_{\mathrm{\Delta }}={\overrightarrow{u}}_d=(2;-1)$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ qua điểm $A(2;1)$ và có véctơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{\mathrm{\Delta }}=(2;-1)$ nên có PTTQ

$\mathrm{\Delta }:2(x-2)-1(y-1)=0$

Hay $\mathrm{\Delta }:2x-y-3=0$

7. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA MỘT ĐIỂM VÀ CÓ HỆ SỐ GÓC $k$

Ví dụ 9. Viết phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ qua điểm $M(1;2)$ và có hệ số góc $k=3$

Lời giải

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có hệ số góc $k$ có dạng: $y=kx+b,(k\ne 0)$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có hệ số góc $k=3$ nên có dạng $\mathrm{\Delta }:y=3x+b$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M(1;2)$ nên

$3\cdot 1+b=2$$\iff b=-1$

Vậy $\mathrm{\Delta }:y=3x-1$ hay $\mathrm{\Delta }:3x-y-1=0$

8. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ TẠO VỚI TRỤC OX MỘT GÓC

Ví dụ 9. Viết phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A(\sqrt{3};2)$ và tạo với trục $Ox$ một có là $60{}^{\circ }$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ tạo với trục $Ox$ một góc $60{}^{\circ }$ nên có hệ số góc $k=\tan 60{}^{\circ }=\sqrt{3}$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có hệ số góc $k=\sqrt{3}$ có dạng $\mathrm{\Delta }:y=\sqrt{3}x+b$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A(\sqrt{3};2)$ nên

$\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+b=2$$\iff b=-1$

Vậy $\mathrm{\Delta }:y=\sqrt{3}x-1$ hay $\mathrm{\Delta }:\sqrt{3}x-y-1=0$

CÁC DẠNG BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

---

KẾT LUẬN

Phương trình đường thẳng trong hệ toạ độ $Oxy$ là một phần quan trọng trong chương trình toán lớp 10, nó có rất nhiều ứng ụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau trong khoa học cũng như trong thực tiễn.

Hy vọng qua bài viết nhỏ này của caolacvc blog, các em biết cách viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng cũng như một số dạng bài tập cơ bản về phần phương tình đường thẳng này

Hãy để những thắc mắc và ý kiến đóng góp xây dựng bài viết dưới phần comment nhé!

© Bài viết được viết bởi caolacvc