© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG OXY
1. Mở Đầu Về Phương Trình Đường Thẳng
Phương trình đường thẳng được sử dụng rộng rãi trong hình học, vật lý, kinh tế và các lĩnh vực khác để mô tả các mối quan hệ tuyến tính.
- Toán học: Giải quyết bài toán vị trí, khoảng cách, song song, vuông góc.
- Vật lý: Mô tả chuyển động thẳng, quan hệ tuyến tính ($F=ma$, $U=IR$).
- Kinh tế: Biểu diễn cung cầu, giá cả và sản lượng.
- Khoa học máy tính: Đồ họa máy tính, vẽ và mô tả chuyển động 2D.
2. Véctơ Pháp Tuyến (VTPT) Của Đường Thẳng
Véctơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó vuông góc với đường thẳng $\Delta$.
- Một đường thẳng có vô số véctơ pháp tuyến và chúng cùng phương với nhau.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một véctơ pháp tuyến.
3. Véctơ Chỉ Phương (VTCP) Của Đường Thẳng
Véctơ $\vec{u} \ne \vec{0}$ được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta$.
- Một đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương và chúng cùng phương với nhau.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một véctơ chỉ phương.
4. Liên Hệ Giữa VTPT Và VTCP
- Đường thẳng $\Delta$ có VTPT $\vec{n}=(A;B)$. Khi đó $\Delta$ có VTCP $\vec{u}=(B;-A)$ hoặc $\vec{u}=(-B;A)$.
- Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\vec{u}=(a;b)$. Khi đó $\Delta$ có VTPT $\vec{n}=(b;-a)$ hoặc $\vec{n}=(-b;a)$.
5. Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng (PTTQ)
Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng $Ax+By+C=0$ (với $A^2 + B^2 > 0$).
Ngược lại, mỗi phương trình dạng $Ax+By+C=0$ đều là phương trình của một đường thẳng nhận $\vec{n}=(A;B)$ là véctơ pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(x_0; y_0)$ và có VTPT $\vec{n} = (A;B)$ là:
$$ A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0 $$
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(-2;3)$ và có VTPT là $\vec{n}=(4;5)$.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng cần tìm là:
$$ 4(x + 2) + 5(y - 3) = 0 $$
$$ \Leftrightarrow 4x + 8 + 5y - 15 = 0 $$
$$ \Leftrightarrow 4x + 5y - 7 = 0 $$
6. Phương Trình Tham Số Của Đường Thẳng (PTTS)
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M(x_0; y_0)$ và có VTCP $\vec{u}=(a;b)$ là:
$$ \Delta : \left\{ \begin{align} & x = x_0 + at \\ & y = y_0 + bt \\ \end{align} \right. $$
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua $A(-2;3)$ và có VTCP $\vec{u}=(-5;2)$.
Lời giải:
Phương trình tham số của đường thẳng là:
$$ \Delta : \left\{ \begin{align} & x = -2 - 5t \\ & y = 3 + 2t \\ \end{align} \right. $$
7. Các Dạng Bài Tập Có Lời Giải Chi Tiết
Dạng 1: Chuyển PT Tham Số sang PT Tổng Quát
Ví dụ 3: Chuyển phương trình đường thẳng $\Delta: x - 2y + 2 = 0$ sang phương trình tham số.
Lời giải:
Đường thẳng $\Delta$ có VTPT $\vec{n}=(1;-2) \Rightarrow$ VTCP $\vec{u}=(2;1)$.
Chọn một điểm thuộc $\Delta$: Cho $y=1 \Rightarrow x-2(1)+2=0 \Rightarrow x=0$. Vậy $M(0;1) \in \Delta$.
Phương trình tham số: $\left\{ \begin{align} & x = 2t \\ & y = 1 + t \\ \end{align} \right.$
Dạng 2: Chuyển PT Tổng Quát sang PT Tham Số
Ví dụ 4: Chuyển phương trình $\Delta: \left\{ \begin{align} & x = 1 - 2t \\ & y = 3 - 4t \\ \end{align} \right.$ sang tổng quát.
Lời giải:
$\Delta$ đi qua $M(1;3)$ và có VTCP $\vec{u}=(-2;-4)$.
Suy ra VTPT $\vec{n}=(4;-2)$ hoặc chọn $\vec{n}'=(2;-1)$.
PTTQ: $2(x - 1) - 1(y - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0$.
Dạng 3: Viết PT đi qua điểm và biết VTPT/VTCP
Ví dụ 5: Viết PTTS và PTTQ của $\Delta$ đi qua $A(1;2)$, có VTCP $\vec{u}=(3;4)$.
Lời giải:
+) VTCP $\vec{u}=(3;4) \Rightarrow$ PTTS: $\left\{ \begin{align} & x = 1 + 3t \\ & y = 2 + 4t \\ \end{align} \right.$
+) VTCP $\vec{u}=(3;4) \Rightarrow$ VTPT $\vec{n}=(4;-3)$.
PTTQ: $4(x - 1) - 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0$.
Dạng 4: Viết PT đi qua hai điểm
Ví dụ 6: Viết phương trình $\Delta$ đi qua $A(1;2)$ và $B(3;4)$.
Lời giải:
VTCP $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (2;2)$, chọn $\vec{u}'=(1;1) \Rightarrow$ VTPT $\vec{n}=(1;-1)$.
PTTQ (qua A): $1(x - 1) - 1(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0$.
PTTS (qua A): $\left\{ \begin{align} & x = 1 + t \\ & y = 2 + t \\ \end{align} \right.$
Dạng 5: Viết PT song song với đường thẳng cho trước
Ví dụ 7: Viết PT $\Delta$ đi qua $A(1;2)$ và song song với $d: x + y + 1 = 0$.
Lời giải:
Vì $\Delta // d$ nên $\vec{n}_{\Delta} = \vec{n}_d = (1;1)$.
PTTQ của $\Delta$: $1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0$.
Dạng 6: Viết PT vuông góc với đường thẳng cho trước
Ví dụ 8: Viết PT $\Delta$ đi qua $A(2;1)$ và vuông góc với $d: x + 2y - 1 = 0$.
Lời giải:
$d$ có VTPT $\vec{n}_d = (1;2) \Rightarrow$ VTCP $\vec{u}_d = (2;-1)$.
Vì $\Delta \perp d$ nên $\vec{n}_{\Delta} = \vec{u}_d = (2;-1)$.
PTTQ của $\Delta$: $2(x - 2) - 1(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 3 = 0$.
Dạng 7: Viết PT có hệ số góc k
Ví dụ 9: Viết PT $\Delta$ qua $M(1;2)$ và có hệ số góc $k=3$.
Lời giải:
Phương trình có dạng: $y = 3x + b$.
Thay $M(1;2)$: $2 = 3(1) + b \Leftrightarrow b = -1$.
Vậy $\Delta: y = 3x - 1 \Leftrightarrow 3x - y - 1 = 0$.
Dạng 8: Viết PT tạo với trục Ox một góc
Ví dụ 10: Viết PT $\Delta$ qua $A(\sqrt{3};2)$ và tạo với trục $Ox$ góc $60^\circ$.
Lời giải:
Hệ số góc $k = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$. Phương trình: $y = \sqrt{3}x + b$.
Thay toạ độ A: $2 = \sqrt{3}(\sqrt{3}) + b \Leftrightarrow 2 = 3 + b \Leftrightarrow b = -1$.
Vậy $\Delta: y = \sqrt{3}x - 1 \Leftrightarrow \sqrt{3}x - y - 1 = 0$.
KẾT LUẬN
Phương trình đường thẳng trong hệ toạ độ $Oxy$ là một phần quan trọng trong chương trình toán lớp 10, có nhiều ứng dụng thực tiễn. Hy vọng qua bài viết này, các em nắm vững cách viết phương trình tổng quát, tham số và giải quyết các bài toán liên quan.
Bài Tập Trắc Nghiệm Nhanh
Câu 1: Nếu đường thẳng có VTPT $\vec{n} = (2; -3)$ thì VTCP $\vec{u}$ là gì?
Câu 2: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua $M(1;1)$ và có VTPT $\vec{n}(1;2)$ là?
Tác giả: Nguyễn Hoàng Thứ
0 Comments
Vui lòng đăng nhập google để bình luận
Để gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$
Ví dụ: $[biểu thức toán]$