BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ghi nhớ

${{a}^{f\left( x \right)}}<b\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & 0<a<1 \\ & f\left( x \right)>{{\log }_{a}}b \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & a>1 \\ & f\left( x \right)<{{\log }_{a}}b \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.$

Dạng cơ bản

Ví dụ 1. Giải bất phương trình ${{3}^{x+2}}>\frac{1}{9}$

Dễ thấy cơ số $a=3>1$

${{3}^{x+2}}>\frac{1}{9}\Leftrightarrow x+2>{{\log }_{3}}\frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow x+2>-2\Leftrightarrow x>-4$

Vậy $S=\left( -4;+\infty \right)$

Ví dụ 2. Giải bất phương trình ${{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{x+1}}>4-2\sqrt{3}$

Dễ thấy cơ số $0<\sqrt{3}-1<1$

${{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{x+1}}>4-2\sqrt{3}\Leftrightarrow x+1<{{\log }_{\left( \sqrt{3}-1 \right)}}\left( 4-2\sqrt{3} \right)$

$\Leftrightarrow x+1<2$

$\Leftrightarrow x<1$

Vậy $S=\left( -\infty ;1 \right)$

Dạng đưa về cùng cơ số

Ví dụ. Giải bất phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-3x+4}}\le {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2x-10}}$

$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-3x+4}}\le {{2}^{-\left( 2x-10 \right)}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+4\le -\left( 2x-10 \right)$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+4\le -2x+10$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6\le 0$

$\Leftrightarrow -2\le x\le 3$

Vậy $S=\left[ -2;3 \right]$

Ví dụ. Giải bất phương trình ${{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x-1}}\ge {{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}}$

Điều kiện $x+1\ne 0\Leftrightarrow x\ne -1$

Dễ thấy $\sqrt{5}-2={{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{-1}}$, do đó bất phương trình trở thành

${{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x-1}}\ge {{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{-\frac{x-1}{x+1}}}$

Dễ thấy cơ số $\sqrt{5}+2>1$, do đó

$\Leftrightarrow x-1\ge -\frac{x-1}{x+1}$

$\Leftrightarrow x-1+\frac{x-1}{x+1}\ge 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+x-1}{x+1}\ge 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}{x+1}\ge 0$

Xét dấu, ta chọn được miền nghiệm là $x\in \left[ -2;-1 \right)\cup \left[ 1;+\infty \right)$ (Chú ý điều kiện $x\ne -1$)

Vậy $S=\left[ -2;-1 \right)\cup \left[ 1;+\infty \right)$

Dạng đặt ẩn phụ

Ví dụ Giải bất phương trình ${{3.9}^{x}}-{{10.3}^{x}}+3\le 0$

${{3.3}^{2x}}-{{10.3}^{x}}+3\le 0$

Đặt $t={{3}^{x}},\left( t>0 \right)$

Khi đó phương trình trở thành

$3{{t}^{2}}-10t+3\le 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\le t\le 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\le {{3}^{x}}\le 3$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{1}{3}\le x\le {{\log }_{3}}3$

$\Leftrightarrow -1\le x\le 1$

Vậy $S=\left[ -1;1 \right]$