BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ghi nhớ

$a^{f\left(x\right)}<b\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& 0<a<1\\ & f\left(x\right)>{\log }_{a}b\end{array}\\ & \{\begin{array}{rl}& a>1\\ & f\left(x\right)<{\log }_{a}b\end{array}\end{array}$

Dạng cơ bản

Ví dụ 1. Giải bất phương trình $3^{x+2}>\frac{1}{9}$

Dễ thấy cơ số $a=3>1$

$3^{x+2}>\frac{1}{9}\iff x+2>{\log }_3\frac{1}{9}$

$\iff x+2>-2\iff x>-4$

Vậy $S=(-4;+\mathrm{\infty })$

Ví dụ 2. Giải bất phương trình ${(\sqrt{3}-1)}^{x+1}>4-2\sqrt{3}$

Dễ thấy cơ số $0<\sqrt{3}-1<1$

${(\sqrt{3}-1)}^{x+1}>4-2\sqrt{3}\iff x+1<{\log }_{(\sqrt{3}-1)}(4-2\sqrt{3})$

$\iff x+1<2$

$\iff x<1$

Vậy $S=(-\mathrm{\infty };1)$

Dạng đưa về cùng cơ số

Ví dụ. Giải bất phương trình $2^{x^2-3x+4}\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-10}$

$\iff 2^{x^2-3x+4}\le 2^{-(2x-10)}$

$\iff x^2-3x+4\le -(2x-10)$

$\iff x^2-3x+4\le -2x+10$

$\iff x^2-x-6\le 0$

$\iff -2\le x\le 3$

Vậy $S=[-2;3]$

Ví dụ. Giải bất phương trình ${(\sqrt{5}+2)}^{x-1}\ge {(\sqrt{5}-2)}^{\frac{x-1}{x+1}}$

Điều kiện $x+1\ne 0\iff x\ne -1$

Dễ thấy $\sqrt{5}-2={(\sqrt{5}+2)}^{-1}$, do đó bất phương trình trở thành

${(\sqrt{5}+2)}^{x-1}\ge {(\sqrt{5}+2)}^{-\frac{x-1}{x+1}}$

Dễ thấy cơ số $\sqrt{5}+2>1$, do đó

$\iff x-1\ge -\frac{x-1}{x+1}$

$\iff x-1+\frac{x-1}{x+1}\ge 0$

${\displaystyle \iff \frac{(x-1)(x+1)+x-1}{x+1}\ge 0}$

${\displaystyle \iff \frac{(x-1)(x+2)}{x+1}\ge 0}$

Xét dấu, ta chọn được miền nghiệm là $x\in [-2;-1)\cup [1;+\mathrm{\infty })$ (Chú ý điều kiện $x\ne -1$)

Vậy $S=[-2;-1)\cup [1;+\mathrm{\infty })$

Dạng đặt ẩn phụ

Ví dụ Giải bất phương trình ${3.9}^x-{10.3}^x+3\le 0$

${3.3}^{2x}-{10.3}^x+3\le 0$

Đặt $t=3^x,(t>0)$

Khi đó phương trình trở thành

$3t^2-10t+3\le 0$

$\iff \frac{1}{3}\le t\le 3$

$\iff \frac{1}{3}\le 3^x\le 3$

$\iff {\log }_3\frac{1}{3}\le x\le {\log }_{3}3$

$\iff -1\le x\le 1$

Vậy $S=[-1;1]$