DÃY SỐ (LỚP 11)

30761222

DÃY SỐ

Một hàm số $u$ xác định trên tập hợp các số nguyên dương ${\mathbb{N}}^{\ast }$ được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số)

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu $u_n<u_{n+1},\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu $u_n>u_{n+1},\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Phương pháp chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm

Phương pháp 1. Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$

+) Nếu $u_{n+1}-u_n>0\stackrel{}{\to }$Dãy số tăng

+) Nếu $u_{n+1}-u_n<0\stackrel{}{\to }$Dãy số giảm

Phương pháp 2. Xét tỉ số ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ với $u_n>0,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

+) Nếu ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}>1\stackrel{}{\to }$Dãy số tăng

+) Nếu ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}<1\stackrel{}{\to }$Dãy số giảm

Ví dụ 1. Xét tính tăng giảm của dãy số sau $u_n={\displaystyle \frac{n-1}{n+1}},(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

Ta có $u_n={\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}={\displaystyle \frac{(n+1)-2}{n+1}}=1-{\displaystyle \frac{2}{n+1}}$

Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=(1-{\displaystyle \frac{2}{(n+1)+1}})-(1-{\displaystyle \frac{2}{n+1}})$

$={\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+2}}={\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}}>0$

Suy ra $u_{n+1}-u_n>0$

Hay $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng

30761222

Ví dụ 2.Xét tính tăng, giảm của dãy số sau $u_n=n-\sqrt{n^2-1}$

Xét $u_n=n-\sqrt{n^2-1}={\displaystyle \frac{(n-\sqrt{n^2-1})(n+\sqrt{n^2-1})}{(n+\sqrt{n^2-1})}}$

$={\displaystyle \frac{n^2-(n^2-1)}{n+\sqrt{n^2-1}}}={\displaystyle \frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}}$

Dễ thấy với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thì

$(n+1)+\sqrt{{(n+1)}^2-1}>n+\sqrt{n^2-1}$

Suy ra ${\displaystyle \frac{1}{(n+1)+\sqrt{{(n+1)}^2-1}}}<{\displaystyle \frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}}$

Hay $u_{n+1}<u_n$

Vậy dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm