DÃY SỐ (LỚP 11)

30761222

DÃY SỐ

Một hàm số $u$ xác định trên tập hợp các số nguyên dương ${{\mathbb{N}}^{*}}$ được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số)

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ${{u}_{n}}<{{u}_{n+1}},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ${{u}_{n}}>{{u}_{n+1}},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

Phương pháp chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm

Phương pháp 1. Xét hiệu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$

+) Nếu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}>0\xrightarrow{{}}$Dãy số tăng

+) Nếu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}<0\xrightarrow{{}}$Dãy số giảm

Phương pháp 2. Xét tỉ số $\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}$

+) Nếu $\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}>1\xrightarrow{{}}$Dãy số tăng

+) Nếu $\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}<1\xrightarrow{{}}$Dãy số giảm

Ví dụ 1. Xét tính tăng giảm của dãy số sau ${{u}_{n}}=\dfrac{n-1}{n+1},\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$

Ta có ${{u}_{n}}=\dfrac{n-1}{n+1}=\dfrac{\left( n+1 \right)-2}{n+1}=1-\dfrac{2}{n+1}$

Xét hiệu: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left( 1-\dfrac{2}{\left( n+1 \right)+1} \right)-\left( 1-\dfrac{2}{n+1} \right)$

$=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}>0$

Suy ra ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}>0$

Hay $\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy số tăng

30761222

Ví dụ 2.Xét tính tăng, giảm của dãy số sau ${{u}_{n}}=n-\sqrt{{{n}^{2}}-1}$

Xét ${{u}_{n}}=n-\sqrt{{{n}^{2}}-1}=\dfrac{\left( n-\sqrt{{{n}^{2}}-1} \right)\left( n+\sqrt{{{n}^{2}}-1} \right)}{\left( n+\sqrt{{{n}^{2}}-1} \right)}$

$=\dfrac{{{n}^{2}}-\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}=\dfrac{1}{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}$

Dễ thấy với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì

$\left( n+1 \right)+\sqrt{{{\left( n+1 \right)}^{2}}-1}>n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}$

Suy ra $\dfrac{1}{\left( n+1 \right)+\sqrt{{{\left( n+1 \right)}^{2}}-1}}<\dfrac{1}{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}$

Hay ${{u}_{n+1}}<{{u}_{n}}$

Vậy dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy số giảm