Một số phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng. $at+b=0,(a\ne 0)$ trong đó $t$ là một trong các hàm $\sin x,\cos x,\tan x,\cot x$.

Phương pháp. Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản và áp dụng công thức

Lưu ý. Phương trình chứa $\tan x,\cot x$ phải lấy điều kiện

Ví dụ. $2\sin x-\sqrt{3}=0$

Ví dụ. $2\cos x+\sqrt{3}=0$

Ví dụ. $\sqrt{3}\tan x-3=0$

Ví dụ. $\sqrt{3}\cot x+3=0$

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng. $a{t}^2+bt+c=0,(a\ne 0)$, trong đó $t$ là một trong các hàm $\sin x,\cos x,\tan x,\cot x$

Phương pháp. Đặt $t$ một trong 4 trường hợp sau

Đặt $t=\sin x$, $t\in [-1;1]$

Đặt $t=\cos x$, $t\in [-1;1]$

Đặt $t=\tan x$

Đặt $t=\cot x$

Ví dụ. $2{\sin }^{2}x+5\sin x+3=0$

3. Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng. $a\sin x+b\cos x=c$

Điều kiện có nghiệm: $a^2+b^2\ge c^2$

Nhận xét. Nếu $a^2+b^2<c^2$ thì phương trình vô nghiệm

Phương pháp.

• Chia hai vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$.
• Áp dụng công thức cộng

Ví dụ. $\sqrt{3}\sin x-\cos x=1$

Ví dụ. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $2\sin x+\sqrt{5}\cos x=m$ có nghiệm?

4. Phương trình thuần nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng. $a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=0$

Phương pháp.

• Bước 1. Xét trường hợp $\cos x=0\Rightarrow \sin x=\pm 1$. Thay vào phương trình
• Bước 2. Nếu $\cos x\ne 0$. Chia hai vế cho ${\cos }^{2}x$

5. Phương trình dạng đối xứng

Dạng 1. $a(\sin x\pm \cos x)+b\sin x\cos x+c=0$

Phương pháp. Đặt $t=\sin x\pm \cos x(|t|\le \sqrt{2})\Rightarrow \sin x+\cos x=\frac{\pm t^2\mp 1}{2}$

---

Dạng 2. $a({\tan }^{2}x+{\cot }^{2}x)+b(\tan x\pm \cot x)+c=0$

Phương pháp. Đặt $t=\tan x\pm \cot x(|t|\ge 2)\Rightarrow {\tan }^{2}x+{\cot }^{2}x=t^2\mp 2$

---

Dạng 3. $a({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x)+b\sin 2x+c=0$

Phương pháp. Đặt $t=\sin 2x,(|t|\le 1)\Rightarrow {\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-\frac{1}{2}{t}^2$

---

Dạng 4. $a({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x)+b\cos 2x+c=0$

Phương pháp. Đặt $t=\cos 2x,(|t|\le 1)\Rightarrow {\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{t}^2$

Mở rộng dạng 3, Dạng 4 cho mũ 6.

---

Dạng 5. $a{\sin }^{4}x+b{\cos }^{4}x+c\cos 2x+d=0$

Phương pháp. Đặt $t=\cos 2x(|t|\le 1)\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\sin }^{2}x=\frac{1-t}{2}\\ {\cos }^{2}x=\frac{1+t}{2}\end{array}$

6. Đưa về phương trình tích

Ví dụ. $\sin 5x+\cos 2x+\sin x=0(1)$

Hướng dẫn. $(1)\iff (\sin 5x+\sin x)+\cos 2x=0\iff \sin 3x\cos 2x+\cos 2x=0$

$\iff \cos 2x(\sin 3x+1)=0$

Phụ lục

Xem thêm

1. Tóm tắt công thức lượng giác chương 1