Một số phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng. $at+b=0, (a\ne 0)$ trong đó $t$ là một trong các hàm $\sin x, \cos x, \tan x, \cot x$.

Phương pháp. Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản và áp dụng công thức

Lưu ý. Phương trình chứa $\tan x,\cot x$ phải lấy điều kiện

Ví dụ. $2\sin x -\sqrt{3}=0$

Ví dụ. $2\cos x +\sqrt{3}=0$

Ví dụ. $\sqrt{3}\tan x -3=0$

Ví dụ. $\sqrt{3}\cot x +3=0$

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng. $at^2+bt+c=0, (a\ne 0)$, trong đó $t$ là một trong các hàm $\sin x, \cos x, \tan x, \cot x$

Phương pháp. Đặt $t$ một trong 4 trường hợp sau

Đặt $t=\sin x$, $t\in [-1;1]$

Đặt $t=\cos x$, $t\in [-1;1]$

Đặt $t=\tan x$

Đặt $t=\cot x$

Ví dụ. $2\sin^2 x+5\sin x+3=0$

3. Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng. $a\sin x+b\cos x=c$

Điều kiện có nghiệm: $a^2+b^2\ge c^2$

Nhận xét. Nếu $a^2+b^2<c^2$ thì phương trình vô nghiệm

Phương pháp.

• Chia hai vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$.
• Áp dụng công thức cộng

Ví dụ. $\sqrt{3}\sin x-\cos x=1$

Ví dụ. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $2\sin x+\sqrt{5}\cos x=m$ có nghiệm?

4. Phương trình thuần nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng. $a\sin^2 x+b\sin x \cos x+c\cos^2 x=0$

Phương pháp.

• Bước 1. Xét trường hợp $\cos x=0\Rightarrow \sin x=\pm 1$. Thay vào phương trình
• Bước 2. Nếu $\cos x\ne 0$. Chia hai vế cho $\cos^2 x$

5. Phương trình dạng đối xứng

Dạng 1. $a(\sin x\pm\cos x)+b\sin x\cos x+c=0$

Phương pháp. Đặt $t=\sin x\pm\cos x\ (|t|\le \sqrt{2})\Rightarrow \sin x+\cos x=\frac{\pm t^2\mp 1}{2}$

---

Dạng 2. $a(\tan^2 x+\cot^2 x)+b(\tan x\pm\cot x)+c=0$

Phương pháp. Đặt $t=\tan x\pm\cot x\ (|t|\ge 2)\Rightarrow \tan^2 x+\cot^2 x=t^2\mp 2$

---

Dạng 3. $a(\sin^4 x+\cos^4 x)+b\sin 2x+c=0$

Phương pháp. Đặt $t=\sin 2x, (|t|\le 1)\Rightarrow \sin^4 x+\cos^4 x=1-\frac{1}{2}t^2$

---

Dạng 4. $a(\sin^4 x+\cos^4 x)+b\cos 2x+c=0$

Phương pháp. Đặt $t=\cos 2x, (|t|\le 1)\Rightarrow \sin^4 x+\cos^4 x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t^2$

Mở rộng dạng 3, Dạng 4 cho mũ 6.

---

Dạng 5. $a\sin^4 x+b\cos^4 x+c\cos2x+d=0$

Phương pháp. Đặt $t=\cos 2x\ (|t|\le 1)\Rightarrow \begin{cases}\sin^2 x=\frac{1-t}{2}\\\cos^2 x=\frac{1+t}{2}\end{cases}$

6. Đưa về phương trình tích

Ví dụ. $\sin 5x+\cos 2x+\sin x=0\ (1)$

Hướng dẫn. $(1)\Leftrightarrow (\sin 5x+\sin x)+\cos 2x=0\Leftrightarrow \sin 3x \cos 2x+\cos 2x=0$

$\Leftrightarrow \cos 2x(\sin 3x+1)=0$

Phụ lục

Xem thêm

1. Tóm tắt công thức lượng giác chương 1