Công thức lượng giác

Các công thức lượng giác PHẢI THUỘC khi học xong lớp 10.

1. Các cung liên quan đặc biệt

1.1. Hai cung đối nhau ($\alpha$ và $-\alpha$)

• $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$
• $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$
• $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$
• $\cot (-\alpha )=-\cot \alpha$

1.2. Hai cung bù nhau ($\alpha$ và $\pi -\alpha$)

• $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$
• $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$
• $\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$
• $\cot (\pi -\alpha )=-\cot \alpha$

1.3. Hai cung phụ nhau ($\alpha$ và $\frac{\pi }{2}-\alpha$)

• $\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$
• $\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$
• $\tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cot \alpha$
• $\cot (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\tan \alpha$

1.4. Hai cung hơn kém $\pi$

• $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$
• $\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$
• $\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$
• $\cot (\pi +\alpha )=\cot \alpha$

2. Công thức lượng giác cơ bản

• $\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$; $\cot x={\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}$
• ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
• $\tan x.\cot x=1$
• ${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}=1+{\tan }^{2}x$
• ${\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}=1+{\cot }^{2}x$

3. Công thức cộng

• $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \sin b\cos a$
• $\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$
• $\tan (a\pm b)={\displaystyle \frac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a\tan b}}$

4. Công thức nhân đôi

Công thức nhân đôi là trường hợp đặc biệt của công thức cộng

• $\sin 2a=2\sin a\cos a$
• $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a$
• $\tan 2a={\displaystyle \frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}}$

5. Công thức nhân ba

• $\sin 3a=3\sin a-4{\sin }^{3}a$
• $\cos 3a=4{\cos }^{3}a-3\cos a$
• $\tan 3a={\displaystyle \frac{3\tan a-{\tan }^{3}a}{1-3{\tan }^{2}a}}$

6. Công thức hạ bậc

• ${\sin }^{2}a={\displaystyle \frac{1-\cos 2a}{2}}$
• ${\cos }^{2}a={\displaystyle \frac{1+\cos 2a}{2}}$
• ${\sin }^{3}a={\displaystyle \frac{3\sin a-\sin 3a}{4}}$
• ${\cos }^{3}a={\displaystyle \frac{3\cos a+\cos 3a}{4}}$

7. Công thức biến đổi tổng thành tích

• $\cos a+\cos b=2\cos \left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)\cos \left({\displaystyle \frac{a-b}{2}}\right)$
• $\cos a-\cos b=-2\sin \left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)\sin \left({\displaystyle \frac{a-b}{2}}\right)$
• $\sin a+\sin b=2\sin \left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)\cos \left({\displaystyle \frac{a-b}{2}}\right)$
• $\sin a-\sin b=2\cos \left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)\sin \left({\displaystyle \frac{a-b}{2}}\right)$

8. Công thức biến đổi tích thành tổng

• $\cos a\cos b={\displaystyle \frac{1}{2}}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]$
• $\sin a\cos b={\displaystyle \frac{1}{2}}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]$
• $\sin a\sin b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}[\cos (a+b)-\cos (a-b)]$