Công thức lượng giác

Các công thức lượng giác PHẢI THUỘC khi học xong lớp 10.

1. Các cung liên quan đặc biệt

1.1. Hai cung đối nhau ($\alpha$ và $-\alpha$)

• $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$
• $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$
• $\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$
• $\cot(-\alpha)=-\cot\alpha$

1.2. Hai cung bù nhau ($\alpha$ và $\pi -\alpha$)

• $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$
• $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$
• $\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$
• $\cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha$

1.3. Hai cung phụ nhau ($\alpha$ và $\frac{\pi}{2}-\alpha$)

• $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$
• $\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$
• $\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot\alpha$
• $\cot\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan\alpha$

1.4. Hai cung hơn kém $\pi$

• $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$
• $\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$
• $\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$
• $\cot(\pi+\alpha)=\cot\alpha$

2. Công thức lượng giác cơ bản

• $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$; $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$
• $\sin^2x+\cos^2x=1$
• $\tan x.\cot x=1$
• $\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$
• $\dfrac{1}{\sin^2 x}=1+\cot^2 x$

3. Công thức cộng

• $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \sin b\cos a$
• $\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$
• $\tan (a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm \tan b}{1\mp\tan a\tan b}$

4. Công thức nhân đôi

Công thức nhân đôi là trường hợp đặc biệt của công thức cộng

• $\sin 2a=2\sin a\cos a$
• $\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a$
• $\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2 a}$

5. Công thức nhân ba

• $\sin 3a=3\sin a-4\sin^3 a$
• $\cos 3a=4\cos^3 a-3\cos a$
• $\tan 3a=\dfrac{3\tan a-\tan^3 a}{1-3\tan^2 a}$

6. Công thức hạ bậc

• $\sin^2 a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}$
• $\cos^2 a=\dfrac{1+\cos 2a}{2}$
• $\sin^3 a=\dfrac{3\sin a-\sin 3a}{4}$
• $\cos^3 a=\dfrac{3\cos a+\cos 3a}{4}$

7. Công thức biến đổi tổng thành tích

• $\cos a+\cos b=2\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$
• $\cos a-\cos b=-2\sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\sin\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$
• $\sin a+\sin b=2\sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$
• $\sin a-\sin b=2\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\sin\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$

8. Công thức biến đổi tích thành tổng

• $\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]$
• $\sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]$
• $\sin a\sin b=-\dfrac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)]$