TÍNH SIN, COS, TAN KHI BIẾT MỘT YẾU TỐ

Cho sin, cos, tan, cot và tính các yếu tố còn lại là dạng bài toán quen thuộc của phần này.

Nhắc lại

• ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$
• $\tan \alpha .\cot \alpha =1$
• ${\displaystyle 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}$
• ${\displaystyle 1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }}$

$\alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$
$0^{\circ }-{90}^{\circ }$ hay $(0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$	$+$	$+$
${90}^{\circ }-{180}^{\circ }$ hay $({\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi )$	$+$	$-$
${180}^{\circ }-{270}^{\circ }$ hay $(\pi ;{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})$	$-$	$-$
${270}^{\circ }-{360}^{\circ }$ hay $({\displaystyle \frac{3\pi }{2}};2\pi )$	$-$	$+$

---

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$ với ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <\pi$. Tính $\cos \alpha$

Giải

Ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$

${\displaystyle \Rightarrow {\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}}$

$\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{4}{5}$

Vì ${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi }$ nên $\cos \alpha <0$

Suy ra ${\displaystyle \cos \alpha =-{\displaystyle \frac{4}{5}}}$

Ví dụ 2. Cho $\tan \alpha =-{\displaystyle \frac{4}{5}}$, với ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}<\alpha <2\pi$. Tính $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$.

Giải

Ta có ${\displaystyle {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1}{1+\frac{16}{25}}=\frac{25}{41}}$

${\displaystyle \Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{5}{\sqrt{41}}}$

Vì ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi }$ nên $\cos \alpha >0$

Suy ra ${\displaystyle \cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{41}}}$

Từ đó ta suy ra ${\displaystyle \sin \alpha =\tan \alpha .\cos \alpha =-\frac{4}{5}.\frac{5}{\sqrt{41}}=-\frac{4}{\sqrt{41}}}$