NGUYÊN HÀM

Càng phân tích anh càng thêm nhức nhối

Nỡ lòng nào em trị tuyệt đối tình anh

Anh yêu em bằng định lý chân thành

Và tình anh đã tiến về vô cực...

Để học tốt về nguyên hàm và tích phân, đầu tiên hãy nhớ lại các kiến thức về đạo hàm, đặc biệt là các công thức tính đạo hàm.

---

1. Tóm tắt lý thuyết và bài tập nguyên hàm
2. 100 câu nguyên hàm cơ bản
3. 50 câu nguyên hàm cơ bản
4. Bài tập Nguyên hàm đổi biến số (Tự luận)
5. Bài tập Nguyên hàm từng phần (Tự luận)

---

KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM

Cho hàm số $f$ xác định trên $K$. Hàm số $F$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f$ trên $K$ nếu $$F^{\prime }(x)=f(x)$$ với mọi $x$ thuộc $K$.

ĐỊNH LÝ

Giả sử hàm số $F$ là một nguyên hàm của hàm số $f$ trên $K$. Khi đó

+) Với mỗi hằng số $C$, hàm số $y=F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của hàm số $f$ trên $K$

+) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm $G$ của $f$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x)=F(x)+C$ với mọi $x$ thuộc $K$

Nhận xét. Qua định lý trên ta có nhận xét, với một hàm số $f$, có vô số nguyên hàm của hàm số $f$ trên $K$ và chúng sai khác nhau một hằng số $C$

Tập hợp tất cả các nguyên hàm của $f$ trên $K$ được ký hiệu là $$\int f(x)dx$$

Vậy $$\int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb{R}$$ và $${(\int f(x)dx)}^{\prime }=f(x)$$

---

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

1. ${\displaystyle \int 0dx=C}$
2. ${\displaystyle \int dx=x+C}$
3. ${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C(\alpha \ne -1)}$
4. ${\displaystyle \int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C}$
5. ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C}$
6. ${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C}$
7. ${\displaystyle \int \sin kxdx=-\frac{\cos kx}{k}+C}$
8. ${\displaystyle \int \cos kxdx=\frac{\sin kx}{k}+C}$
9. ${\displaystyle \int e^{kx}dx=\frac{e^{kx}}{k}+C}$
10. ${\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C(0<a\ne 1)}$
11. ${\displaystyle \int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C}$
12. ${\displaystyle \int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C}$

---

Ghi nhớ. Các em nên nhớ thêm vài công thức sau để linh hoạt biến đổi trong nguyên hàm

1. ${\displaystyle \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}},(x>0)}$
2. ${\displaystyle \frac{1}{x^n}=x^{-n},(x\ne 0)}$

MỘT SỐ NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG

1. ${\displaystyle \int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax+b}+C}$
2. ${\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C}$
3. ${\displaystyle \int \cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C}$
4. ${\displaystyle \int \sin (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C}$
5. ${\displaystyle \int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C}$
6. ${\displaystyle \int \cot xdx=\ln |\sin x|+C}$
7. ${\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+1}=\arctan x+C}$
8. ${\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm 1}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm 1}|}$
9. ${\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C}$
10. ${\displaystyle \int \frac{dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C}$

---

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Nếu $f,g$ là hai hàm số liên tục trên $K$ thì

1. ${\displaystyle \int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}$
2. ${\displaystyle \int kf(x)dx=k\int f(x)dx(k\ne 0)}$

---

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ NGUYÊN HÀM

XEM CHI TIẾT PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ NGUYÊN HÀM

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau

Cho hàm số $u(x)$ có đạo hàm trên $K$ và hàm số $y=f(u)$ liên tục sao cho $f[u(x)]$ xác định trên $K$. Khi đó nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$, tức là $\int f(u)du=F(u)+C$ thì $$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=F(u(x))+C$$

Các bước tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Bước 1. Đặt $u=\varphi (x)$ hoặc $x=\varphi (t)$ (lượng giác)

Bước 2. Lấy vi phân hai vế $du={\varphi }^{\prime }(x)dx$ hoặc $dx={\varphi }^{\prime }(t)dt$

Bước 3. Thay vào với ẩn mới (ẩn $u$ hoặc ẩn $t$)

Bước 4. Tính nguyên hàm dựa các nguyên hàm và cơ bản và các tính chất

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

XEM CHI TIẾT PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Cơ sở của phương pháp lấy nguyên hàm từng phần là định lý sau

Nếu $u,v$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên $K$ thì $$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)dx$$