PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Nguyên hàm từng phần

Công thức của nguyên hàm từng phần $$\displaystyle \int{udv}=uv-\int{v}du$$

THỨ TỰ ĐẶT $u$ NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Quy tắc đặt $u$ trong nguyên hàm từng phần:

log$\longrightarrow$đa$\longrightarrow$lượng$\longrightarrow$mũ

Trong đó log là hàm logarit, đa tức hàm đa thức, lượng là hàm lượng giác và mũ là hàm số mũ, phần còn lại sẽ là phần $dv$

Khi nào thì ta biết phải sử dụng nguyên hàm từng phân? Khi có dạng tích của hai hàm khác bản chất. Ví dụ $x\ln x$ thì đây là tích của hàm đa thức và hàm logarit nên do đó ta sẽ nghĩ ngay đến sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Quy trình làm bài toán nguyên hàm từng phần sẽ được sáng tỏ thông qua các ví dụ bên dưới

Một số ví dụ về phương pháp nguyên hàm từng phần

Ví dụ 1. Tìm $\displaystyle \int{\ln x}dx$

Giải

Đặt $\left\{ \begin{aligned} & u=\ln x \\ & dv=dx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=\frac{1}{x}dx \\ & v=x \\ \end{aligned} \right.$. Khi đó

$\displaystyle \int{\ln x}dx=x\ln x-\int{x\cdot \frac{1}{x}}dx=x\ln x-\int{dx}=x\ln x-x+C$

Ví dụ 2. Tìm $\displaystyle \int{x{{e}^{x}}}dx$

Giải

Theo nguyên tắc log$\longrightarrow$đa$\longrightarrow$lượng$\longrightarrow$mũ nên

Đặt $\left\{ \begin{aligned} & u=x \\ & dv={{e}^{x}}dx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=dx \\ & v={{e}^{x}} \\ \end{aligned} \right.$. Khi đó

$\displaystyle \int{x{{e}^{x}}}dx=x{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C$

Ví dụ 3. Tìm $\displaystyle \int{x\sin xdx}$

Giải

Đặt $\left\{ \begin{aligned} & u=x \\ & dv=\sin xdx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=dx \\ & v=-\cos x \\ \end{aligned} \right.$. Khi đó

$\displaystyle \int{x\sin xdx}=-x\cos x+\int{\cos xdx}=-x\cos x+\sin x+C$

Ví dụ 4. Tìm $\displaystyle \int{x\ln xdx}$

Giải

Đặt $\left\{ \begin{aligned} & u=\ln x \\ & dv=xdx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=\frac{1}{x}dx \\ & v=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ \end{aligned} \right.$. Khi đó

$\displaystyle \int{x\ln xdx}=\frac{{{x}^{2}}}{2}\cdot \ln x-\int{\frac{{{x}^{2}}}{2}\cdot \frac{1}{x}dx}$

$\displaystyle =\frac{{{x}^{2}}}{2}\cdot \ln x-\frac{1}{2}\int{xdx}=\frac{{{x}^{2}}}{2}\cdot \ln x-\frac{1}{4}{{x}^{2}}+C$

Ví dụ 5. Tìm $\displaystyle {{I}_{1}}=\int{{{e}^{x}}\cos xdx}$

Giải

Đặt $\left\{ \begin{aligned} & u=\cos x \\ & dv={{e}^{x}}dx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=-\sin xdx \\ & v={{e}^{x}} \\ \end{aligned} \right.$. Khi đó

$\displaystyle {{I}_{1}}=\int{{{e}^{x}}\cos xdx}={{e}^{x}}\cos x+\underbrace{\int{{{e}^{x}}\sin xdx}}_{{{I}_{2}}}={{e}^{x}}\cos x+{{I}_{2}}(1)$

$\displaystyle {{I}_{2}}=\int{{{e}^{x}}\sin xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{aligned} & u=\sin x \\ & dv={{e}^{x}}dx \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & du=\cos xdx \\ & v={{e}^{x}} \\ \end{aligned} \right.$. Khi đó

$\displaystyle {{I}_{2}}={{e}^{x}}\sin x-\underbrace{\int{{{e}^{x}}\cos xdx}}_{{{I}_{1}}}={{e}^{x}}\sin x-{{I}_{1}}(2)$

Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được

$\displaystyle {{I}_{1}}={{e}^{x}}\cos x+{{I}_{2}}={{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x-{{I}_{1}}$

$\Rightarrow 2{{I}_{1}}={{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x$

$\Rightarrow {{I}_{1}}=\frac{1}{2}\left( {{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x \right)+C$

Qua ví dụ này ta thấy được một kỹ thuật khá hay đó là nguyên hàm từng phần hai lần để quay về hàm ban đầu. Các em hãy lưu ý kỹ ví dụ trên nhé!

Nguyên hàm từng phần theo kiểu cột (phương pháp múa cột)

Tên phương pháp "múa cột" thì đặt vui để dễ nhớ thôi nha!

Thông qua ví dụ sau để các em nắm về cách làm của phương pháp này, kiểu làm nguyên hàm từng phần theo phương pháp này rất thuận lợi cho việc nguyên hàm từng phần nhiều lần

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm $\displaystyle \int e^x\cos x dx$

Giải

Dấu	Đạo hàm $(u)$	Nguyên hàm $(dv)$
$+$	$e^x$	$\cos x$
$-$	$e^x$	$\sin x$
$+$	$e^x$	$-\cos x$

Dựa vào bảng trên ta có quy tắc Hồng-Hồng, Xanh lá-Xanh lá, Xanh lam-Xanh lá (khác màu thì còn dấu nguyên hàm)

Dĩ nhiên là dấu vẫn tương ứng ở phía trước +, - luân phiên

Khi đó $\displaystyle \int e^x\cos x dx = e^x\sin x + e^x\cos x -\int e^x\cos xdx$

$\displaystyle \Rightarrow 2\int e^x\cos x dx = e^x\sin x + e^x\cos x$

$\displaystyle \Rightarrow \int e^x\cos x dx = \frac{1}{2}\left(e^x\sin x + e^x\cos x \right)+C$