Vận dụng cao Oxyz mặt cầu (Phần 1)

Vận dụng cao $Oxyz$ mặt cầu (phần 1) 

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1,2, - 4} \right);{\text{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\text{ và }} C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy)$ có bán kính là.

A. $\sqrt {34} $

B. $\sqrt {26} $

C. $34$

D. $26$

Giải

Tâm I thuộc mặt phẳng $\left( {xOy} \right):{\text{ }}z = 0$ nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I\left( {x,y,0} \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ qua $A,{\text{ }}B,{\text{ }}C$ nên ta có $IA = IB = IC = R$

Ta có

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = I{B^2}}&{}\\{I{B^2} = I{C^2}}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(4)}^2} = {{(x - 1)}^2} + {{(y + 3)}^2} + {{( - 1)}^2}}&{}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y + 3)}^2} + {{( - 1)}^2} = {{(x - 2)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(3)}^2}}&{}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1}&{}\\{ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 = - 4x + 4 - 4y + 4 + 9}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 10y = - 10}&{}\\{2x + 10y = 6}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}&{}\\{x = - 2}&{}\end{array}} \right.$

Vậy $I\left( { - 2,1,0} \right)$.

Có $IA = \sqrt {26} = R$

Chọn B.

Câu 2. Mặt cầu $(S)$ đi qua bốn điểm $M\left( 2;2;2 \right),$ $N\left( 4;0;2 \right),$ $P\left( 4;2;0 \right),$ $Q\left( 4;2;2 \right)$ thì tâm $I$ của $(S)$ có tọa độ là.

A. $\left( -1;-1;0 \right)$

B.  $\left( 3;1;1 \right)$

C. $\left( 1;1;1 \right)$

D.  $\left( 1;2;1 \right)$

Giải

Gọi phương trình mặt cầu có dạng $\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)$

Vì $M,N,P,Q\in \left( S \right)\Rightarrow $ ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}{2^2} + {2^2} + {2^2} + 4a + 4b + 4c + d = 0\,\,\\{4^2} + {0^2} + {2^2} + 8a + 4c + d = 0\,\,\\{4^2} + {2^2} + {0^2} + 8a + 4b + d = 0\,\,\\{4^2} + {2^2} + {2^2} + 8a + 4b + 4c + d = 0\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = - 1\\c = - 1\\d = 8\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;1;1} \right)$ là tâm của mặt cầu.

Chọn B.

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( 2;1;-1 \right)$, tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là:

A. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$

B.  ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=1$

C.  ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4$

D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=81$

Giải

Vì $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) nên bán kính của mặt cầu $R=\left| {{x}_{I}} \right|=2$

Vậy phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4$

Chọn C.

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y-2z+5=0$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$chứa trục $Ox$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng $2$ là

A. $(Q):\,\,2y+z=0$

B. $(Q):\,\,2x-z=0$

C. $(Q):\,\,y-2z=0$

D. $(Q):\,\,2y-z=0$

Giải

$(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y-2z+5=0\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9$

$\Rightarrow \left( S \right)$ có tâm $I(3;-2;1)$, bán kính $R=3$.

$(Q)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn bán kính $r=2$

Ta có: ${{d}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{d}^{2}}+{{2}^{2}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow d=\sqrt{5}$

Gọi $\overrightarrow{n}(a;b;c),\,\,\,\left( \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \right)$ là một VTPT của $(Q)$. Khi đó $\overrightarrow{n}$ vuông góc với VTCP $\overrightarrow{u}(1;0;0)$của $Ox$ $\Rightarrow 1.a+0.b+0.c=0\Leftrightarrow a=0$

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $O(0;0;0)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}(0;b;c),\,\,\,\left( \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \right)$ là:

$0.(x-0)+b(y-0)+c(z-0)=0\Leftrightarrow by+cz=0$

Khoảng cách từ tâm $I$ đến $(Q)$:

$d=\frac{\left| b.(-2)+c.1 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{5}\Rightarrow {{\left( 2b-c \right)}^{2}}=5({{b}^{2}}+{{c}^{2}})\Leftrightarrow {{b}^{2}}+4bc+4{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow {{(b+2c)}^{2}}=0\Leftrightarrow b=-2c$

Cho $c=-1\Rightarrow b=2\Rightarrow \overrightarrow{n}(0;2;-1)$. Phương trình mặt phẳng (Q): $2y-z=0$.

Chọn: D.

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A, B, C$ (không trùng $O$) lần lượt thay đổi trên các trục $Ox, Oy, Oz$ và luôn thỏa mãn điều kiện. Tỉ số giữa diện tích của tam giác $ABC$ và thể tích khối $OABC$ bằng $\frac{3}{2}$. Biết rằng mặt phẳng $(ABC)$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng

A. $3$

B. $2$

C. $4$

D. $1$

Giải

Kẻ $OH\bot AB\,\,\left( H\in AB \right);\,\,OK\bot Ch\,\,\left( K\in CH \right)$ ta có

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} AB \bot OH\\ AB \bot OC \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {OHC} \right) \Rightarrow AB \bot OK\\ \left\{ \begin{array}{l} OK \bot AB\\ OK \bot CH \end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {ABC} \right) \end{array}$

Ta sẽ chứng minh $OK$ không đổi, khi đó mặt phẳng $(ABC)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm $O$ bán kính $OK$.

Gọi $A\left( a;0;0 \right);\,\,B\left( 0;b;0 \right);\,\,C\left( 0;0;c \right)$ ta có ${{V}_{ABC}}=\frac{1}{6}abc$. $\begin{align} & \overrightarrow{AB}=\left( -a;b;0 \right);\,\,\overrightarrow{AC}=\left( -a;0;c \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( bc;ac;ab \right)\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}} \\ & \Rightarrow \frac{{{S}_{ABC}}}{{{V}_{OABC}}}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}{\frac{1}{6}abc}=\frac{3}{2} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}abc \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}} \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{4} \\ \end{align}$

Xét tam giác vuông $OCK$ có $\frac{1}{O{{K}^{2}}}=\frac{1}{O{{C}^{2}}}+\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{C}^{2}}}+\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}=\frac{1}{4}\Rightarrow OK=2$

Vậy mặt phẳng $(ABC)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm $O$ bán kính $2$.

Chọn B.

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;2;3} \right),$$B\left( {4; - 7; - 9} \right)$, tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $2M{A^2} + M{B^2} = 165$ là mặt cầu có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R$. Giá trị biểu thức $T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2}$ bằng:

A. $T = 9$

B. $T = 13$

C. $T = 15$

D. $T = 18$

Giải

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$.

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2M{A^2} + M{B^2} = 165\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 7} \right)}^2} + {{\left( {z + 9} \right)}^2}} \right] = 165\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 12x + 6y + 6z + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 3 = 0\end{array}$

Do đó tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm $I\left( {2; - 1; - 1} \right)$ $ \Rightarrow a = 2,\,\,b = - 1,\,\,c = - 1$ , bán kính $R = \sqrt {4 + 1 + 1 - 3} = \sqrt 3 $.

Vậy $T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2} = 4 + 1 + 1 + 3 = 9$.

Chọn A.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {2;3;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)$. Tập hợp các điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thỏa mãn $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 23$ là mặt cầu có bán kính bằng:

A. $3$

B. $5$

C. $\sqrt 3 $

D. $\sqrt {23} $

Giải

Ta có $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {2;3;0} \right),C\left( {0;0;3} \right);M\left( {x;y;z} \right)$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\M{B^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2}\\M{C^2} = {x^2} + {y^2}{\left( {z - 3} \right)^2}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 23\\ \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 23\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 6x - 6y - 6z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\end{array}$

$ \Rightarrow R = \sqrt 3 $

Chọn C.

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta.\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm $I$ thuộc $\Delta $ và tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại điểm $H\left( {1; - 1;0} \right)$. Phương trình của $\left( S \right)$ là:

A. ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36$

B. ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36$

C. ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6$

D. ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6$

Giải

Vì $I \in \Delta.\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ nên ta gọi $I\left( {1 - 2t;\,\,2t;\,\,2 + t} \right)$.

Vì $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0$ tại điểm $H\left( {1; - 1;0} \right)$ nên ta có: $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = IH = R$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2.\left( {1 - 2t} \right) - 2t + 2 + t - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2t} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - t} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 5t + 1} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {9{t^2} + 8t + 5} \\ \Leftrightarrow 25{t^2} - 10t + 1 = 54{t^2} + 48t + 30\\ \Leftrightarrow 29{t^2} + 58t + 29 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow t = - 1\end{array}$

$ \Rightarrow I\left( {3; - 2;1} \right)$ và $R = IH = \sqrt 6 $.

Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6$.

Chọn C.

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho$A\left( {2;0;4} \right)$ và $B\left( {0; - 6;0} \right)$, M là điểm bất kì thỏa mãn $3M{A^2} + 2M{B^2} = \dfrac{{561}}{{280}}A{B^2}$. Khi đó M thuộc mặt cầu có bán kính là giá trị nào dưới đây?

A. $3$

B. $9$

C. $\sqrt {56} $

D. $56$

Giải

Xét điểm $I\left( {x;y;z} \right)$ thỏa mãn $3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {2 - x} \right) + 2\left( {0 - x} \right) = 0\\3\left( {0 - y} \right) + 2\left( { - 6 - y} \right) = 0\\3\left( {4 - z} \right) + 2\left( {0 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{5}\\y = - \dfrac{{12}}{5}\\z = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.$.

$ \Rightarrow I\left( {\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{12}}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)$.

Mà $A{B^2} = {2^2} + {6^2} = {4^2} = 56$.

Xét

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3M{A^2} + 2M{B^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 3\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + I{A^2}} \right) + 2\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + I{B^2}} \right) = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} } \right) + 3I{A^2} + 2I{B^2} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow 5M{I^2} + \dfrac{{672}}{{25}} + \dfrac{{1008}}{{25}} = \dfrac{{561}}{5}\\ \Leftrightarrow M{I^2} = 9 \Leftrightarrow MI = 3.\end{array}$

Vậy $M$ luôn chạy trên mặt cầu tâm $I\left( {\dfrac{6}{5}; - \dfrac{{12}}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)$, bán kính $R = MI = 3$.

Chọn A.

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 9$. Từ điểm A(4;0;1) nằm ngoài mặt cầu, kẻ một tiếp tuyến bất kì đến (S) với tiếp điểm M. Tập hợp điểm M là đường tròn có bán kính bằng:

A. $\dfrac{3}{2}$

B. $\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}$

C. $\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}$

D. $\dfrac{5}{2}$

Giải

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;0;4)$, bán kính $R = 3$.

Gọi H là giao điểm của IA là mặt phẳng chứa đường tròn là tập hợp các điểm M. Khi đó H là tâm đường tròn tập hợp tiếp điểm, bán kính r = HM.

Ta có: $IA = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 $.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $IAM$ có: $AM = \sqrt {I{A^2} - I{M^2}} = \sqrt {18 - 9} = 3$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $IAM$ có: $MH = \dfrac{{IM.AM}}{{IA}} = \dfrac{{3.3}}{{3\sqrt 2 }} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

Chọn B.