Vận dụng cao Oxyz mặt cầu (Phần 1)

Vận dụng cao $O x y z$ mặt cầu (phần 1)

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho các điểm $A (1, 2, - 4); B (1, - 3, 1) và C (2, 2, 3)$ . Mặt cầu $(S)$ đi qua $A, B, C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(x O y)$ có bán kính là.

A. $\sqrt{34}$

B. $\sqrt{26}$

C. $34$

D. $26$

Giải

Tâm I thuộc mặt phẳng $(x O y) : z = 0$ nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I (x, y, 0)$ .

Mặt cầu $(S)$ qua $A, B, C$ nên ta có $I A = I B = I C = R$

Ta có

${\begin{array}{l} I A^{2} = I B^{2} \\ I B^{2} = I C^{2} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(4)}^{2} = {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(- 1)}^{2} \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(- 1)}^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(3)}^{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} - 4 y + 4 + 16 = 6 y + 9 + 1 \\ - 2 x + 1 + 6 y + 9 + 1 = - 4 x + 4 - 4 y + 4 + 9 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} - 10 y = - 10 \\ 2 x + 10 y = 6 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} y = 1 \\ x = - 2 \end{array}$

Vậy $I (- 2, 1, 0)$ .

Có $I A = \sqrt{26} = R$

Chọn B.

Câu 2. Mặt cầu $(S)$ đi qua bốn điểm $M (2; 2; 2),$ $N (4; 0; 2),$ $P (4; 2; 0),$ $Q (4; 2; 2)$ thì tâm $I$ của $(S)$ có tọa độ là.

A. $(- 1; - 1; 0)$

B. $(3; 1; 1)$

C. $(1; 1; 1)$

D. $(1; 2; 1)$

Giải

Gọi phương trình mặt cầu có dạng $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0 (a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0)$

Vì $M, N, P, Q \in (S) \Rightarrow$ ta có hệ phương trình

${\begin{cases} 2^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 4 a + 4 b + 4 c + d = 0 \\ 4^{2} + 0^{2} + 2^{2} + 8 a + 4 c + d = 0 \\ 4^{2} + 2^{2} + 0^{2} + 8 a + 4 b + d = 0 \\ 4^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 8 a + 4 b + 4 c + d = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = - 3 \\ b = - 1 \\ c = - 1 \\ d = 8 \end{cases} \Rightarrow I (3; 1; 1)$ là tâm của mặt cầu.

Chọn B.

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , mặt cầu $(S)$ có tâm $I (2; 1; - 1)$ , tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ $(O y z)$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ là:

A. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 1$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 4$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 81$

Giải

Vì $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) nên bán kính của mặt cầu $R = | x_{I} | = 2$

Vậy phương trình mặt cầu là: ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 4$

Chọn C.

Câu 4. Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z + 5 = 0$ . Phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa trục $O x$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng $2$ là

A. $(Q) : 2 y + z = 0$

B. $(Q) : 2 x - z = 0$

C. $(Q) : y - 2 z = 0$

D. $(Q) : 2 y - z = 0$

Giải

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

$\Rightarrow (S)$ có tâm $I (3; - 2; 1)$ , bán kính $R = 3$ .

$(Q)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn bán kính $r = 2$

Ta có: $d^{2} + r^{2} = R^{2} \Leftrightarrow d^{2} + 2^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow d = \sqrt{5}$

Gọi $\vec{n} (a; b; c), (\vec{n} \neq \vec{0})$ là một VTPT của $(Q)$ . Khi đó $\vec{n}$ vuông góc với VTCP $\vec{u} (1; 0; 0)$ của $O x$ $\Rightarrow 1. a + 0. b + 0. c = 0 \Leftrightarrow a = 0$

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $O (0; 0; 0)$ và có VTPT $\vec{n} (0; b; c), (\vec{n} \neq \vec{0})$ là:

$0. (x - 0) + b (y - 0) + c (z - 0) = 0 \Leftrightarrow b y + c z = 0$

Khoảng cách từ tâm $I$ đến $(Q)$ :

$d = \frac{| b . (- 2) + c .1 |}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} = \sqrt{5} \Rightarrow {(2 b - c)}^{2} = 5 (b^{2} + c^{2}) \Leftrightarrow b^{2} + 4 b c + 4 c^{2} = 0 \Leftrightarrow {(b + 2 c)}^{2} = 0 \Leftrightarrow b = - 2 c$

Cho $c = - 1 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow \vec{n} (0; 2; - 1)$ . Phương trình mặt phẳng (Q): $2 y - z = 0$ .

Chọn: D.

Câu 5. Trong không gian $O x y z$ , cho các điểm $A, B, C$ (không trùng $O$ ) lần lượt thay đổi trên các trục $O x, O y, O z$ và luôn thỏa mãn điều kiện. Tỉ số giữa diện tích của tam giác $A B C$ và thể tích khối $O A B C$ bằng $\frac{3}{2}$ . Biết rằng mặt phẳng $(A B C)$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng

A. $3$

B. $2$

C. $4$

D. $1$

Giải

Kẻ $O H ⊥ A B (H \in A B); O K ⊥ C h (K \in C H)$ ta có

$\begin{array}{l} {\begin{matrix} A B ⊥ O H \\ A B ⊥ O C \end{matrix} \Rightarrow A B ⊥ (O H C) \Rightarrow A B ⊥ O K \\ {\begin{matrix} O K ⊥ A B \\ O K ⊥ C H \end{matrix} \Rightarrow O K ⊥ (A B C) \end{array}$

Ta sẽ chứng minh $O K$ không đổi, khi đó mặt phẳng $(A B C)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm $O$ bán kính $O K$ .

Gọi $A (a; 0; 0); B (0; b; 0); C (0; 0; c)$ ta có $V_{A B C} = \frac{1}{6} a b c$ . $\begin{aligned} \vec{A B} = (- a; b; 0); \vec{A C} = (- a; 0; c) \Rightarrow [\vec{A B}; \vec{A C}] = (b c; a c; a b) \Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}} \\ \Rightarrow \frac{S_{A B C}}{V_{O A B C}} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}}{\frac{1}{6} a b c} = \frac{3}{2} \\ \Leftrightarrow \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}} = \frac{1}{2} a b c \\ \Leftrightarrow a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} = \frac{1}{4} a^{2} b^{2} c^{2} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{4} \end{aligned}$

Xét tam giác vuông $O C K$ có $\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O C^{2}} + \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O C^{2}} + \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} = \frac{1}{4} \Rightarrow O K = 2$

Vậy mặt phẳng $(A B C)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm $O$ bán kính $2$ .

Chọn B.

Câu 6. Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (1; 2; 3),$ $B (4; - 7; - 9)$ , tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $2 M A^{2} + M B^{2} = 165$ là mặt cầu có tâm $I (a; b; c)$ và bán kính $R$ . Giá trị biểu thức $T = a^{2} + b^{2} + c^{2} + R^{2}$ bằng:

A. $T = 9$

B. $T = 13$

C. $T = 15$

D. $T = 18$

Giải

Gọi $M (x; y; z)$ .

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l} 2 M A^{2} + M B^{2} = 165 \\ \Leftrightarrow 2 [{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2}] + [{(x - 4)}^{2} + {(y + 7)}^{2} + {(z + 9)}^{2}] = 165 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} - 12 x + 6 y + 6 z + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 2 z + 3 = 0 \end{array}$

Do đó tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm $I (2; - 1; - 1)$ $\Rightarrow a = 2, b = - 1, c = - 1$ , bán kính $R = \sqrt{4 + 1 + 1 - 3} = \sqrt{3}$ .

Vậy $T = a^{2} + b^{2} + c^{2} + R^{2} = 4 + 1 + 1 + 3 = 9$ .

Chọn A.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho ba điểm $A (1; 0; 0), B (2; 3; 0), C (0; 0; 3)$ . Tập hợp các điểm $M (x; y; z)$ thỏa mãn $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 23$ là mặt cầu có bán kính bằng:

A. $3$

B. $5$

C. $\sqrt{3}$

D. $\sqrt{23}$

Giải

Ta có $A (1; 0; 0), B (2; 3; 0), C (0; 0; 3); M (x; y; z)$

$\Rightarrow {\begin{cases} M A^{2} = {(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} \\ M B^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} \\ M C^{2} = x^{2} + y^{2} {(z - 3)}^{2} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 23 \\ \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} + {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2} = 23 \\ \Leftrightarrow 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - 6 x - 6 y - 6 z = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 (x + y + z) = 0 \\ \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3 \end{array}$

$\Rightarrow R = \sqrt{3}$

Chọn C.

Câu 8. Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $Δ . \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + z - 3 = 0$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm $I$ thuộc $Δ$ và tiếp xúc với $(P)$ tại điểm $H (1; - 1; 0)$ . Phương trình của $(S)$ là:

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 36$

B. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 36$

C. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$

Giải

Vì $I \in Δ . \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ nên ta gọi $I (1 - 2 t; 2 t; 2 + t)$ .

Vì $(S)$ tiếp xúc với $(P) : 2 x - y + z - 3 = 0$ tại điểm $H (1; - 1; 0)$ nên ta có: $d (I; (P)) = I H = R$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{| 2. (1 - 2 t) - 2 t + 2 + t - 3 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{{(2 t)}^{2} + {(- 1 - 2 t)}^{2} + {(- 2 - t)}^{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{| - 5 t + 1 |}{\sqrt{6}} = \sqrt{9 t^{2} + 8 t + 5} \\ \Leftrightarrow 25 t^{2} - 10 t + 1 = 54 t^{2} + 48 t + 30 \\ \Leftrightarrow 29 t^{2} + 58 t + 29 = 0 \\ \Leftrightarrow t^{2} + 2 t + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow {(t + 1)}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow t = - 1 \end{array}$

$\Rightarrow I (3; - 2; 1)$ và $R = I H = \sqrt{6}$ .

Vậy phương trình mặt cầu $(S)$ là: ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$ .

Chọn C.

Câu 9. Trong không gian $O x y z$ , cho $A (2; 0; 4)$ và $B (0; - 6; 0)$ , M là điểm bất kì thỏa mãn $3 M A^{2} + 2 M B^{2} = \frac{561}{280} A B^{2}$ . Khi đó M thuộc mặt cầu có bán kính là giá trị nào dưới đây?

A. $3$

B. $9$

C. $\sqrt{56}$

D. $56$

Giải

Xét điểm $I (x; y; z)$ thỏa mãn $3 \vec{I A} + 2 \vec{I B} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} 3 (2 - x) + 2 (0 - x) = 0 \\ 3 (0 - y) + 2 (- 6 - y) = 0 \\ 3 (4 - z) + 2 (0 - z) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = \frac{6}{5} \\ y = - \frac{12}{5} \\ z = \frac{12}{5} \end{cases}$ .

$\Rightarrow I (\frac{6}{5}; - \frac{12}{5}; \frac{12}{5})$ .

Mà $A B^{2} = 2^{2} + 6^{2} = 4^{2} = 56$ .

Xét

$\begin{array}{l} 3 M A^{2} + 2 M B^{2} = \frac{561}{5} \\ \Leftrightarrow 3 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + 2 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} = \frac{561}{5} \\ \Leftrightarrow 3 (M I^{2} + 2 \vec{M I} . \vec{I A} + I A^{2}) + 2 (M I^{2} + 2 \vec{M I} . \vec{I B} + I B^{2}) = \frac{561}{5} \\ \Leftrightarrow 5 M I^{2} + 2 \vec{M I} (3 \vec{I A} + 2 \vec{I B}) + 3 I A^{2} + 2 I B^{2} = \frac{561}{5} \\ \Leftrightarrow 5 M I^{2} + \frac{672}{25} + \frac{1008}{25} = \frac{561}{5} \\ \Leftrightarrow M I^{2} = 9 \Leftrightarrow M I = 3. \end{array}$

Vậy $M$ luôn chạy trên mặt cầu tâm $I (\frac{6}{5}; - \frac{12}{5}; \frac{12}{5})$ , bán kính $R = M I = 3$ .

Chọn A.

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 4)}^{2} = 9$ . Từ điểm A(4;0;1) nằm ngoài mặt cầu, kẻ một tiếp tuyến bất kì đến (S) với tiếp điểm M. Tập hợp điểm M là đường tròn có bán kính bằng:

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

Giải

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; 0; 4)$ , bán kính $R = 3$ .

Gọi H là giao điểm của IA là mặt phẳng chứa đường tròn là tập hợp các điểm M. Khi đó H là tâm đường tròn tập hợp tiếp điểm, bán kính r = HM.

Ta có: $I A = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{2}$ .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $I A M$ có: $A M = \sqrt{I A^{2} - I M^{2}} = \sqrt{18 - 9} = 3$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $I A M$ có: $M H = \frac{I M . A M}{I A} = \frac{3.3}{3 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

Chọn B.

Vận dụng cao Oxyz mặt cầu (Phần 1)